題目鏈結戳這裡
有\(n\)件不同的商品，每件物品都有無限個，輸出總體積為\([1,m]\)的方案數
直接跑揹包有\(30\)
考慮把每個物品的生成函式設出來，對於一件體積為\(v\)的物品：
\[f(x)=1+x^v+x^+\cdots +x^+\cdots
\]那麼答案\(f(x)\)就是每個物品的\(f\)卷起來：
\[f(x)=\prod\limits_^f_i(x)=\prod\limits_^\frac}
\]直接做是\(o(mnlog\ n)\)的
因為乘法比較麻煩，考慮將其轉化為加法，在兩邊分別取\(ln\)可得：
\[ln\ f(x)=\sum\limits_^ln\ f_i(x)
\]又觀察到對\(f(x)\)作如下變化後的形式很特殊，即：
\[ln\ f(x)=\int (ln\ f(x))'=\int \frac=\int (1-x^v)f'(x)=\int (1-x^v)\sum\limits_ivx^=\int \sum\limits_ivx^-\sum\limits_(i-1)vx^=\int \sum\limits_vx^=\sum\limits_i^x^
\]竟然是個調和級數的形式，太神奇了！於是\(o(nln\ n)\)地統計一下再做個\(exp\)就行了
#include #include #include using namespace std;
#define n 100000
#define mod 998244353
int n, m, v[n+5], cnt[n+5];
int f[4 * n + 5], g[4 * n + 5], f1[4 * n + 5], g1[4 * n + 5], h[4 * n + 5];
int fpow(int x, int p)
return ret;
}void bitreverse(int *s, int len, int bit)
}void dft(int *s, int flag, int len, int bit)
}} if (flag) }
void polyinv(int *f, int *g, int c)
int len = 1 << c;
polyinv(f, g, c - 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
f1[i] = f[i];
dft(f1, 0, len << 1, c + 1), dft(g, 0, len << 1, c + 1);
for (int i = 0; i < (len << 1); ++i)
g[i] = g[i] * (2 - 1ll * f1[i] * g[i] % mod) % mod;
dft(g, 1, len << 1, c + 1);
for (int i = len; i < (len << 1); ++i)
g[i] = 0;
}void d(int *f, int *g, int c)
void d_(int *f, int *g, int c)
void polyln(int *f, int *g, int c)
void polyexp(int *f, int *g, int c)
int len = 1 << c;
polyexp(f, g, c - 1);
polyln(g, h, c);
h[0] = (1 - h[0] + f[0]) % mod;
for (int i = 1; i < len; ++i)
h[i] = (f[i] - h[i]) % mod;
dft(g, 0, len << 1, c + 1), dft(h, 0, len << 1, c + 1);
for (int i = 0; i < (len << 1); ++i)
g[i] = 1ll * g[i] * h[i] % mod, h[i] = 0;
dft(g, 1, len << 1, c + 1);
for (int i = len; i < (len << 1); ++i)
g[i] = 0;
}int main()
for(int i = 1; i <= m; ++i)
polyexp(f, g, bit);
for(int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d\n", (g[i]+mod)%mod);
return 0;
}
洛谷P4389 付公主的揹包
傳送門 有 n 類物品，每種物品體積為 v i 且都有無數多件。問你塞滿容量為 s 的揹包方案數，對於每個 s in 1,m m 給定且 leq 10 5 都求出方案數。答案對 998244353 取模。30 的資料，n,m leq 3000 60 的資料，純隨機生成 100 的資料，n,m leq...
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題目大意 有 n n leqslant10 5 種物品，第 i 個物品體積為 v i 都有 10 5 件。給定 m m leqslant10 5 對於 s in 1,m 請你回答用這些商品恰好裝 s 體積的方案數 題解 by weng weijie 揹包問題模板 誤 對每個物品構造生成函式 f x ...
生成函式 洛谷P4389 付公主的揹包
考慮生成函式 每乙個物品的生成函式 begina x sum x frac end 後面為其封閉形式 答案 begin zeta x prod n sum x end 時間複雜度 theta nm log m 會 tle 把每乙個物品的生成函式都卷起來時間複雜度吃不消 但是加起來是可以的。考慮給 a...