題目傳送門
給出乙個 \(n\) 個點的圖，每個點都有乙個權值 \(f_i\) ，如果 \(f_i=-1\) 表示 \(i\) 這個點是壞的。定義乙個點是有用的當且僅當它不是壞的，並且它連的點中至少有乙個點不是壞的。問有多少種生成樹滿足有用的點的權值之和 \(\le \lim\)。
\(n\le 40\)
其實這道題目不難，只是腦子卡路了而已。。。
可以想到，我們可以先統計選出哪些點為有用點權值 \(\le lim\)，我們記錄有 \(i\) 個有用點且合法的方案數為 \(\text(i)\)，你發現統計有多少種生成樹滿足有 \(i\) 個有用點其實只跟 \(i\) 有關，這個可以用矩陣樹定理求出來，兩者相乘就是有 \(i\) 個有用點時產生的貢獻。
具體講一下吧，前面那個東西可以折半搜尋，就是拆成兩部分然後合起來考慮，排個序就好了。時間複雜度 \(\theta(n2^)\) 。
後面乙個關鍵就在於容斥，你發現其實恰好有 \(i\) 個有用點不是很好求，但是至多有 \(i\) 個有用點其實比較好求，具體來說，連邊的方法就是不壞但不有用的點只能連壞點，壞點可以隨便連，然後求生成樹個數。考慮至多有 \(i\) 個有用點的方案數為 \(f(i)\)，恰好有 \(i\) 個有用點的方案數為 \(g(i)\)，那麼可以得到關係式：
\[g(i)=f(i)-\sum_^\binomg(j)
\]正確性顯然。此部分時間複雜度瓶頸為矩陣樹定理部分，所以為 \(\theta(n^3)\) 。
#include using namespace std;
#define int register int
#define mod 1000000007
#define maxm 1050005
#define maxn 55
template inline void read (t &t)while (c >= '0' && c <= '9') t *= f;}
template inline void read (t &t,args&... args)
template inline void write (t x)if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
int n,m,lim,tot,cnt1,cnt2,cc[maxn],bin[maxn][maxn],cnt[maxn],sum[maxn],val[maxn];
int mul (int a,int b)
int dec (int a,int b)
int add (int a,int b)
int qkpow (int a,int b)
int inv (int x)
struct node
}c1[maxm],c2[maxm];
void dfs1 (int x,int s,int d),void ();
dfs1 (x + 1,s,d);
if (val[x] != -1) dfs1 (x + 1,s + val[x],d + 1);
}void dfs2 (int x,int s,int d),void ();
dfs2 (x + 1,s,d);
if (val[x] != -1) dfs2 (x + 1,s + val[x],d + 1);
}int mat[maxn][maxn];
void link (int x,int y)
int matrixtree (int k)
else if (i > tot) link (i,j);
else if (j > tot) link (i,j);
for (int i = 1;i <= n;++ i) for (int j = 1;j <= n;++ j) mat[i][j] = (mat[i][j] % mod + mod) % mod;
int res = 1;
for (int i = 1;i < n;++ i)
res = mul (res,mat[i][i]);
} return res;
}signed main()
for (int i = 0;i <= n;++ i) bin[i][0] = 1;
for (int i = 1;i <= n;++ i)
for (int j = 1;j <= i;++ j)
bin[i][j] = add (bin[i - 1][j - 1],bin[i - 1][j]);
for (int i = 0;i <= tot;++ i) sum[i] = matrixtree (i);
for (int i = 1;i <= tot;++ i)
for (int j = 0;j < i;++ j)
sum[i] = dec (sum[i],mul (bin[i][j],sum[j]));
int res = 0;for (int i = 0;i <= tot;++ i) res = add (res,mul (cnt[i],sum[i]));
write (res),putchar ('\n');
return 0;
}
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