錦標賽遊戲解題報告

$\tt$ 很喜歡玩遊戲，今天他決定和朋友們玩錦標賽遊戲。

錦標賽遊戲的規則是這樣的：一共有 $i(1≤i≤n)$個人參與遊戲，每個人都編上號（之後用編號代替人）。

任意兩個人之間都要進行一場比賽（即單迴圈賽制），每一場比賽雙方獲勝的概率都是 $0.5$。對於兩個人 $x$ 和 $y$

$(1≤x,y≤i)$，如果 $x=y$ 或存在乙個序列$(a_1,a_2,\dots,a_m)(m≥2)$，滿足 $a_1$ 戰勝了 $a_2$， $a_2$ 戰勝了 $a_3$， $\dots$， $a_$ 戰勝了 $a_m$，且 $a_1=x$， $a_m=y$，則稱 $x$ 不弱於 $y$。如果 $x$ 不弱於 $y$ 且 $y $不弱於 $x$，則稱 $x $和 $y$ 是實力相當的。比賽結束後會給每個人發獎金。如果某個人$j(1≤j≤i)$有 $k(1≤k≤n)$個人和他實力相當，則給他發 $d_k$ 元獎金。獎金最多的人獲勝。

$\tt$ 很想贏得遊戲，但他太笨了，他想讓你幫他算出對於每乙個 $i$，所有編號的期望獎金的最大值是多少。這個數字可能不是有限小數，所以你需要求的是答案 $\bmod 998244353$的結果。

第一行包含乙個整數 $n$，表示最大人數。

接下來 $n$ 行，第$(i+1)$行包含乙個整數 $d_i$，表示有 $i$ 個人實力相當時獲得的獎金。

輸出 $n$ 行，第 $i$ 行包含乙個整數，表示 $i$ 個人參與遊戲時所有編號的期望獎金的最大值$\bmod 998244353$ 的結果。

對於 $30\%$ 的資料，滿足 $n≤7$。

對於 $100\%$ 的資料，滿足 $n≤3000$。

內什麼，暴力的複雜度是$o(n^22^})$的

就是列舉邊的方向求一下聯通分量的大小就好了，考場上複雜度算錯了就沒打...沒打，虧了$30pts$

正解有點厲害。

發現每個點的期望是一樣的，我們不妨求出每個大小的圖的總貢獻，然後除以情況和點的數量。

令$a_i$代表$i$個點組成競賽圖時形成強連通分量的圖的個數。

那麼對於乙個大小為$n$的競賽圖，我們有

\[2^}=\sum_^n2^}\ \ \ \ \binoma_i

\]左邊代表邊的總情況，右邊我們列舉縮點$\tt$排序後最後乙個新點的大小。

右邊的情況分別為，其他點的任意連邊集合，選擇組成新點的情況，組成強連通點的情況。

注意其他點向強連通點的連邊只有一種方向，所以方案是$1$

這樣的話我們可以得出$a_n$的乙個遞推式

$a_n=2^}-\sum_^2^}\binoma_i$

設$f_i$代表$i$個點組成的圖的所有情況的貢獻和，則有

\[f_n=\sum_^n\binoma_i(f_+id_i2^}\ \ \ )

\]理解起來和上面差不多吧。

直接實現遞推是$o(n^2)$的，據說可以用$\tt$優化到$o(nlogn)$

code:

#include #define ll long long

const ll mod=998244353ll;

const int n=3000;

ll po[n*n+10],c[n+10][n+10],a[n+10],f[n+10],d[n+10];

int n;

void init()

for(int i=1;i<=n*n;i++) po[i]=po[i-1]*2%mod;

}ll quickpow(ll d,ll k)

return f;

}int main()

{ init();

scanf("%d",&n);

for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",d+i);

a[1]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)

{for(int j=1;j2018.10.29

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