設 \(1\sim n-1\) 中與 \(n\) 互素的 \(\varphi(n)\) 個數 \(x_1,x_2,...,x_\in m_1\)，那麼集合 \(m_1\) 為模 \(n\) 的乙個縮系
再設 \(a\cdot x_1,a\cdot x_2,...,a\cdot x_\in m_2\)，由於縮系的性質，集合 \(m_2\) 也為模 \(n\) 的縮系
\[\longrightarrow a\cdot x_1\cdot a\cdot x_2\cdot ...\cdot a\cdot x_\equiv x_1,x_2,...,x_(mod\ n)
\]化簡得 \(a^\equiv 1(mod\ n)\)
如何求乙個數的尤拉函式？讓我們先證明另乙個定理。
不少證明 \(\varphi(nm)=\varphi(n)\cdot \varphi(m)\) 都是一句話顯然，所以有興趣的話可以證明上述性質。
然後根據引理，可以在 \(o(\sqrt)\) 的時間內求出乙個數的尤拉函式，這一般在不能線性篩出 \(\varphi\) 函式時使用。
若 \(b<\varphi(m)\)，\(a^b\equiv a^b(mod\ m)\)
若 \(b\geq \varphi(m)\)，\(a^b\equiv a^(mod\ m)\)
\(b\) 的指數部分可以邊乘邊模，最後對 \(a^b\) 線性求或者快速冪即可
\(code\ below:\)
#include #define ll long long
using namespace std;
ll a,m,b;
inline ll read(ll m)
return x+(f==1?m:0);
}ll phi(ll n)
} if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}ll fast_pow(ll a,ll b,ll p)
int main()
P5091 模板 尤拉定理
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