題解 SDOI2016 征途

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題目大意：給定序列，將它劃分為\(m\)段使得方差最小，輸出\(s^2*m^2\)（乙個整數）。

\(\text\)

這題我通過題解中的大佬部落格學到了一般化方差柿子的寫法。

下面來推柿子：

\[s^2=\frac^n (x_i-\overline)^2}=\frac(\sum_^n x_i^2+n*(\frac^n x_i})^2-2\sum_^n (x_i* \frac^n x_k}))

\]\[s^2=\frac^n x_i^2+\frac^n x_i)^2}-2 \frac^n x_i)^2}}

\]化簡得到:

\[s^2=\frac^n x_i)^2}}

\]兩邊乘以\(n^2\)得到：

\[s^2n^2=n\sum_^n x_i^2 -(\sum_^n x_i)^2=n\sum_^n x_i^2 -sum[n]^2

\]其中\(sum\)是字首和。最後這個柿子裡面，\(n,sum\)都是常數，最終要處理的就是\(\sum_^n x_i^2\).

設\(dp[i][l]\)表示前\(i\)個元素劃分\(l\)次的最小平方和，有：

\[dp[i][l]=\min_\)的時候最好用\(\text\).順序不要搞反。當然這個題主要難點是推方差柿子……\(\text\)

#includeusing namespace std;

#define int long long
int n,m,a[20010],sum[20010];
int dp[4000][4000],tail,head;
int q[200010];
int x(int x)
int y(int x,int p)
long double slope(int x,int y,int p)
//dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2
signed main()
}	printf("%lld\n",m*dp[n][m]-sum[n]*sum[n]);
return 0;
}

\(dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2\)

\(dp[i]][l]=dp[j][l-1]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j]\)

\(dp[j][l-1]+sum[j]^2=2sum[i]sum[j]+dp[i][l]-sum[i]^2\)

\(y=dp[j][l-1]+sum[j]^2,k=2sum[i],x=sum[j],b=dp[i][l]-sum[i]^2\)

最小化\(b\)，即可

\(ans=-sum[n]^2+m*dp[n][m]\)

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