遞迴演算法的時間複雜度分析
在演算法分析中，當乙個演算法中包含遞迴呼叫時，其時間複雜度的分析會轉化為乙個遞迴方程求解。實際上，這個問題是數學上求解漸近階的問題，而遞迴方程的形式多種多樣，其求解方法也是不一而足，比較常用的有以下四種方法：
代換法主要需要以下兩個步驟
1、 猜答案，不需要完全猜出來，不需要知道常熟係數的準確值，而只需要猜出它的形式，比如猜乙個遞迴式的時間複雜度大概是o(n
2)，即它的執行時間應該是乙個常熟乘以n
2，可能還會有一些低階項。
遞迴樹法主要是通過遞迴樹將遞迴式展開來找到答案，然後再用代換法證明它，因為遞迴樹法是不嚴謹的。
例如，用遞迴樹法求t(n) = t(n/2) + n2,
用遞迴樹法將該遞迴式展開
像這樣將遞迴樹展開並延伸下去，最終到葉子節點就只剩下t(1)，那麼該遞迴樹的高度就是logn，因為從頂點n出發，到n/2,到n/4,……最後到1，那麼從n到1的折半次數是logn，即高度是logn（應該是乙個常數乘以logn，不過沒多大關係）。而最下面葉子節點的數目是n，因為從第一層往下，節點數變化為1,2,4,8……，如果樹的高度是h，那麼就會有2
h個葉節點，而高度是logn，那麼2
logn
=n。那麼，整體所做的工作加起來就是t(n)了
t(n) = [1+1/2+1/4+……]n2 =
2n2,於是可知時間複雜度為t(n) = o(n2)。
再例如，用遞迴樹法求t(n) = t(n/4)+t(n/2)+n2 ,下面用遞迴樹的方法將該遞迴式展開
最後，求葉子節點的數目有點麻煩，因為分支的遞迴速度是不一樣的，左邊降低到n/16的時候，右邊才降低到n/4，左邊子樹的高度將會比右邊子樹的高度要小。可以看到葉子節點的數目必然小於n，因為最開始的問題大小是n，然後遞迴成乙個n/4和n/2的兩個子問題，直到最後遞迴到1停止，而n/4+n/2
< n , 所以最後葉子節點的數目不會超過n，將每層求和就得到t(n)，經過觀察發現乙個等比數列，於是數學歸納法開始派上用場
t(n) = (1+5/16+25/256+……)n2≤2n2 =o(n2)
於是得到該遞迴式時間複雜度為o(n2)，因為是猜出來的等比數列，於是需要用數學歸納法證明之，就又變成方法一中代換法求證了。
方法三：主方法
(master method)
該方法僅適用於特定格式的遞迴式
同時要求f(n)漸進趨正，即當n->無窮時，f(n)>0。（我覺得上圖中第2,3中少了個logn，具體請參考演算法導論一書中對時間複雜度的討論）
例如:t(n)=4t(n/2)+n ， 則a=4,b=2,f(n)=n，計算nlog(b,a)=n2>f(n),
滿足模式一，因此t(n) = nlog(b,a)=o(n2)
t(n)=4t(n/2)+n2，則根據上面計算，滿足模式二，因此t(n)=o(n2logn)
t(n)=4t(n/2)+n3，滿足模式三，t(n)=o(n3)
對於該方法的正確性，可以通過遞迴樹的方法證明，懶的畫了，可以在大腦裡構思出這樣乙個草圖：
在第一層，f(n)分解為a個子問題，每個子問題都是f(n/b)，第二層每個子問題又分解為a個子問題，每個問題都是f(n/b2)……這樣遞迴分解下去，最後的葉子還是o(1)，整個樹的高度就是log以b為底n的對數，整個的葉子節點數目為a的log以b為底n的對數次方（alog(b,n)），即nlog(b,a)個葉子節點。每個分支的遞減速度是一樣的，將每層都加在一起便得到t(n)
，此時就需要對f(n)的情況進行討論（於是就是上面的1,2,3）。
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