求兩個隨機變數的差的絕對值的期望

問題1：給定離散隨機變數 x 均勻分布在區間 [a, b] 的整點上，y 均勻分布在區間 [c, d] 的整點上，求期望 e(|x-y|)。

問題很簡單，顯然最直接的辦法就是列舉 x 和 y 然後進行統計即可。如果再稍稍思考一下，那麼可以發現其實只用列舉其中乙個變數就行了，因為若固定 x = i，那麼求 e(|i-y|) 只需要對 i <=y 和 i > y 兩種情況分別進行討論即可。上面兩個方法的執行時間都是與區間的大小相關的，對於這樣簡單的乙個問題，有理由相信一定有 o(1) 的方法存在，事實上也的確如此，推導如下。

首先可以交換 x , y 的順序以保證 a <= c，那麼 a, b, c, d 之間的順序可以分成 3 種情況：

a <= b <= c <= d

a <= c < b <= d

a <= c <= d < b

對於第 1 種情況，因為 y 始終大於等於 x，因此 e(|x-y|) = e(y) – e(x);

對於第 2 種情況，除了 cb 段以外 y 始終大於 x, 因此 e(|x-y|) = e(y) – e(x) + p_cb_cb * e_cb_cb，這裡的p_cb_cb 表示 x 和 y 都分布在 cb 段的概率，e_cb_cb 表示當 x 和 y 都分布在 cb 段時，|x-y|的期望。

對於第 3 種情況，可以將第 ab 拆成 ad 和 d』b 兩段，這裡 d』 = d + 1。於是 e(|x-y|) = p_ad_cd * e_ad_cd + p_d』b_cd * e_d』b_cd，而 e_ad_cd 可以按第 2 種情況來求， e_d』b_cd 可以按第 1 種情況來求，問題解決。

現在唯一剩下的問題就是如果求 e_cb_cb，顯然若 b – c + 1 = n，那麼 e_cb_cb = e_[1, n]_[1, n]. 於是問題可以轉換為：

問題2：給定離散隨機變數 x 和 y 均勻分布在區間 [1, n] 的整點上，求期望 e(|x-y|)。

問題 2 簡單地做乙個求和就可以得到乙個 closed form：

利用上式可以得到解決問題 1 的**如下：

double eabs(int a, int b, int c, int d)
if (b > d)
int n = max(b - c + 1, 1);
double e_ab_cd = (c + d - a - b) / 2.0;
double e_cb_cb = (n - 1.0 / n) / 3.0;
double p_cb_cb = (double)n / (b - a + 1) * (double)n / (d - c + 1);
return e_ab_cd + e_cb_cb * p_cb_cb;
}

再來看如果隨機變數是連續分布的那情況又如何：

問題3：給定連續隨機變數 x 均勻分布在區間 [a, b) 上，y 均勻分布在區間 [c, d) 上，求期望 e(|x-y|)。

問題 3 同樣可以根據 a, b, c, d 的順序分成 3 種情況進行討論，而在情況 2 中仍然還要碰到求 e_cb_cb 的問題。若 n = b - c，對於連續隨機變數顯然有 e_cb_cb = n * e_[0,1)_[0,1)，於是問題就轉化成了：

問題4：給定連續隨機變數 x 和 y 均勻分布在區間 [0, 1) 上，求期望 e(|x-y|)。

對於問題 4，可以直接求乙個積分(實際上如果畫出函式影象的話就是兩個三稜錐)，也可以直接求極限：

由上式可以得到解決問題 3 的**如下：

double eabs(double a, double b, double c, double d)
if (b > d)
double n = max(b - c, 0.0);
double e_ab_cd = (c + d - a - b) / 2.0;
double e_cb_cb = n / 3.0;
double p_cb_cb = n / (b - a) * n / (d - c);
return e_ab_cd + e_cb_cb * p_cb_cb;
}

最後祝大家兔年快樂!

求兩個隨機變數的差的絕對值的期望

求BST中任意兩節點差的絕對值最小值

求兩個時間的差

隨機變數數學期望的乙個例項

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