判斷質數的幾種方法

根據維基百科定義，質數（prime number），又稱素數，指在大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1和本身兩個因數的數）。比1大但不是素數的數稱為合數。

1和0既非素數也非合數。

質數在公鑰加密演算法（如rsa）中有重要的地位。

下邊將會介紹幾種較為常見的判斷質/素數的方法：

法一是按照質數的定義來考慮的，具體程式見下：

1
//*********************************** method 1 ***********************************//2
bool isprime::isprime_1(uint
num)312
}1314return
ret;
15 }

對於乙個正整數num而言，它對(num/2, num)範圍內的正整數是必然不能夠整除的，因此，我們在判斷num的時候，沒有必要讓它除以該範圍內的數。**如下：

1
//*********************************** method 2 ***********************************//2
bool isprime::isprime_2(uint
num)313
}1415return
ret;
16 }

對於乙個小於num的正整數x，如果num不能整除x，則num必然不能整除num/x （num = num/x * x）。反之相同。我們又知num =√num*√num。如果n除以大於√num的數，必得到小於√num的商，而小於√num的整數已經在2到√num的整數試過了，因為就沒有必要再試（√num, num）範圍內的數了。**如下：

注：經常會看到別人說「乙個數 n 如果是合數，那麼它的所有的因子不超過sqrt(n)」。這句話是錯誤的。舉乙個例子，16的因子包括了1、2、4、8，但很明顯8>√16。另外，因子跟因數是不一樣的，因數還會包括數本身，如16的因數為1、2、4、8、16。

1
//*********************************** method 3 ***********************************//2
bool isprime::isprime_3(uint
num)313
}1415return
ret;
16 }

我們都知道，除了2之外，其他所有的偶數（正整數）全都不是質數，因為它們都能被2整除。**改進如下：

1
//*********************************** method 4 ***********************************//2
bool isprime::isprime_4(uint
num)319
}20}21
else
2225
26return
ret;
27 }

當我們判斷某個取值範圍內的素數有哪些的時候，有乙個方法非常可行，就是埃拉託斯特尼篩選法。這個演算法效率很高，但占用空間較大。

我們知道，乙個素數p只有1和p這兩個約數，並且它的約數一定不大於其本身。因此，我們下邊方法來篩選出來素數：

1）把從2開始的、某一範圍內的正整數從小到大順序排列；

2）剩下的數中選擇最小的素數，然後去掉它的倍數。

3）依次類推，直到迴圈結束。

這種篩選法動態圖如下：

程式如下：

1
//*********************************** method 5 ***********************************//2
//find prime numbers between [lower bound, upper bound)
3 vector isprime::retprime_5(uint lbound, uint
ubound)419
}2021     vectorret;
22for (int i = lbound; i < ubound; i++)
2327
28return
ret;
29 }

對於法五來說，即使isprime中已經被判斷為false的元素，它以及它的倍數還會被重新賦值為false（可能會有很多遍），而實際上已經沒有必要這樣子做。例如，第2個元素的倍數第4、6、8、10...個元素已經被判定為false，但迴圈到第4個元素的時候，第8、12、16...個元素還會被重新賦值，這有點重複。因此，我們要去掉這些重複的工作。**比較簡單，只需要加一語句即可，見下：

1
//*********************************** method 6 ***********************************//2
//find prime numbers between [lower bound, upper bound)
3 vector isprime::retprime_6(uint lbound, uint
ubound)417
18for (int i = 2; i < ubound; i++)
1926}27
}2829     vectorret;
30for (int i = lbound; i < ubound; i++)
3135
36return
ret;
37 }

法七是結合了法三及法六，**如下：

1
//*********************************** method 7 ***********************************//2
//find prime numbers between [lower bound, upper bound)
3 vector isprime::retprime_7(uint lbound, uint
ubound)417
18uint ulimit = sqrt(ubound) + 1;19
for (int i = 2; i < ulimit; i++)
2028}29
}3031     vectorret;
32for (int i = lbound; i < ubound; i++)
3337
38return
ret;
39 }

整個程式**（包括單元測試**）見github.

判斷質數的幾種方法

Java求素數（質數）的幾種方法

《質數》判斷質數（較快的方法C ）

判斷是否是陣列的幾種方法

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