質數相關知識點詳解

上課！！定義：若乙個正整數無法被除了1和它自身之外的任何數整除，則稱該數為質數（或素數）。否則稱該數為合數。

我們需要明確，整個自然數集合中，質數的分布比較稀疏，對於乙個足夠大的整數\(n\)，不超過它的質數大約有\(\frac\)個，換句話說，就是每\(ln n\)個數中大約有1個質數。

我們需要明確，計算機最優秀的地方在於機械地重複同一件事，針對質數的判定，正好是它的「強項」，我們只需要按照定義入手，列舉從2到n的所有數，如果能整除，就返回false，試到最後還不能的話就返回true。

模板：

bool prime(int n)
\)即可。
模板：bool prime(int n)

質數的篩選就是給定數\(n\)，要求找出從1到\(n\)的所有質數。質數的篩選是信競中很重要的研究課題，也是一些基礎數學題的重要解題模型。

eratosthenes篩法即埃斯托拉特尼篩法，簡稱埃氏篩法。它基於這樣的思路：

任意整數的倍數都不是質數

基於這樣的想法，我們就從2開始從小到大列舉每個數\(x\)，並把它小於\(n\)的倍數全部打上標記，當我們掃瞄到乙個數的時候，如果它還未被標記，它就是個質數。

這種篩法極好理解，但是效率較低，我們可以拿紙筆模擬，然後就能夠發現，有一些數是多個質數的倍數，這樣的話它就會被反覆篩好幾遍（比如說6），這樣雖然對正確答案不會造成影響，但卻影響程式執行的效率。所以我們對埃氏篩法進行優化：

對於每個數\(x\)，我們從\(\)開始標記，把\(\),\((x+1)\cdot x\),\(\cdots\),\(\frac\cdot x\)打標記即可。

優化後模板：

void estorathenes(int n)
}

euler篩法即尤拉篩法，也叫快篩，線性篩法。是信競中最常用的質數篩法，以偉大的數學家尤拉的名字命名，建議大家熟練掌握。

上述的埃氏篩法即便在優化後也會重複標記，雖然已經少了很多重複，但還是不夠快速。比如，12既會被2標記也會被3標記，因為\(12=6\times 2=4\times 3\).為什麼會出現這種情況呢？因為我們在按照埃氏篩法篩選的時候，並沒有找出確定12的唯一方式，導致12的重複遍歷不可避免。

按照這個基礎，出現了快篩演算法，它的基本思想是這樣：我們在生成乙個需要被標記的合數的時候，每次只向現有的數中乘上這個合數的最小質因子，這樣一來，合數的質因子便被從小到大地累計起來，那剛才的12來說，它就被唯一分解成\(3\times 2\times 2\)。

這個演算法的時間複雜度是\(o(n)\)的。

歐氏篩法模板：

void euler(int x)
}}

這個定理hin重要!!!

整數的唯一分解定理：任何乙個大於1的整數都可表示為若干個質數的乘積，表示如下：

\[=^}\cdot^}\cdot \cdots \cdot^}

\]即：

\[=\prod_^^

\]所以我們通過如上定理分析出質因數分解在計算機上的實現：

先從2到\(\sqrt\)掃瞄所有整數\(x\)，如果\(x\)能整除\(n\)，那麼就在因子表上加上它，並用\(n\)一直除\(x\)，每次除就在指數表c陣列中++，一直到除不盡為止。

**實現：

void divide(int n)
while(n%i==0)
n/=i,c[cnt]++;
}if(n>1)
prime[++cnt]=n,c[cnt]=1;
}