一道有趣的面試題

今天去智聯招聘面試他們資料分析師的時候，部門boss給我出了三道題，前兩道暫且不提，第三道很有意思，作文以記之。

題目3：1樓到10樓的每層電梯門口都放著一顆鑽石，鑽石大小不一（各不相同）。你乘坐電梯從1樓到10樓，每層樓電梯門都會開啟一次，只能拿一次鑽石且沒有掉頭向下的機會，問怎樣才能拿到「最大」的一顆？

讀完題目我第一反應是動態規劃問題，之前記得碰到過類似的扔雞蛋求臨界樓層問題，但仔細一看題目，應該是毫不相關，而且這道題看上去是「無解的」。

我當時不確定問題，就問boss這道題看似無法保證最優解，boss笑著告訴我說你告訴我你思路即可，並給我限制了7分鐘的解題時間。

我給出了思路，大致如下：

1.肯定不會在一開始就伸手拿鑽石，因為最大那顆鑽石放在一樓概率是0.1

2.二樓該不該拿？因為二樓有兩種可能，鑽石比1樓大，也可能比1樓小，同樣的最大那顆鑽石放在2樓概率也為0.1，但是有了1樓鑽石做參照，2樓鑽石較大時去拿，顯然獲取到最大的那顆鑽石的概率更大，但是最大的鑽石出現在1樓或2樓的概率為0.2，還是太低，不取。

3.根據以上思路，應該會有某個樓層k，我們將k樓層之前的樓層做為訓練集，k樓層做為支援向量，凡是在k層之後出現的比之前所有鑽石都大的那顆我們就拿下。這樣應該能保證取到最大的那顆鑽石的概率最大。

時間比較短，想法也很簡陋，並未深究，好在部門boss對我的思路表示還算滿意，並提示我回去檢視37%法則，告訴我有嚴格數學證明。

根據此題我也專門檢視了37%法則，依據法則解題如下

之前思路其實是37%法則的樸素**，這裡假設有n個樓層，n可以趨向於無窮大。

對於某個固定樓層k，如果所有鑽石中最大的那顆鑽石出現在了第 i 個位置（k < i ≤ n），要想讓它正好被我們選中，就必須得滿足前 i-1 個鑽石中的最大的鑽石在前 k 層裡面，這有 k/(i-1) 的可能。考慮所有可能的 i，我們便得到了試探前 k 層之後能選中最大鑽石的總概率 p(k)：

用 x 來表示 k/n ，（假設 n 充分大），則公式1可以寫成如下變限積分形式：

對p（k）求導，令其為0（求極大值,x的區間為（0,1）），解得k=n/e

也就是說，在我們這道題目中應該在k=10/e≈3.678=4層

也就是說，我們在4層過後取第一顆出現的，比之前4層都要大的鑽石即可保證1/e的概率（約為37%）拿到最大的那顆鑽石。

假如沒有出現這樣的鑽石，我們取第十層的那顆即可。

這其實就是機器學習領域常用到的最大似然估計，沒事的時候還要多翻翻書才是。