奇怪的基礎容斥數學課件

一般有乙個很套路的方法。

比如現在有乙個全集條件集合 \(u\)，現在要求恰好 \(s\) 集合滿足，\(u-s\) 集合不滿足的方案數，設其為 \(f_s\)，然而這個並不能直接算出。有乙個比較好算的東西是，欽定 \(t\) 集合滿足，不管 \(u-t\) 集合是否滿足的方案數，設其為 \(g_t\)。

顯然有 \(g_s=\sum\limits_ f_t\)，然後我們可以根據子集反演得到 \(f_s=\sum \limits_ g_t(-1)^\)，這樣的話就可以算出要求的方案數了。

這個玩意正確的原因是這樣的：可以直接把前乙個式子代入後乙個式子，會得到

\(f_s=\sum \limits_ \sum \limits_f_z (-1)^\)

\(=\sum \limits_f_z\sum \limits_ (-1)^\)

\(=\sum \limits_f_z[s=z]=f_s\)

小星星這題中的限制實際上就是：

\(n\) 個點均出現在用來編號的排列中。

相鄰的編號存在邊。

所以考慮這樣乙個做法，首先將排列這個限制去掉，轉化為任意編號。

欽定集合 \(s\) 可以出現在編號序列中，然後做乙個簡單的樹形 \(dp\) 來統計這樣的方案數 \(g_s\)。

套用上面的式子，現在求的就是 \(f_u\) ，有 \(ans=\sum \limits_ g_s (-1)^\)。

ribbons on tree

要求每條邊都能被至少一條路徑覆蓋。

其實只需要欽定若干條邊沒有被覆蓋，這樣就會形成若干個聯通塊。

對於乙個節點數為 \(n\) 的聯通塊，不需要保證聯通塊內的邊都被覆蓋，所以任意匹配的方案數就是 \([2|n] (n-1)!!\)。

答案就是對所有欽定的邊集對應的方案數乘上容斥係數求和，這個東西只要記一下這個聯通塊已經放了多少個點，寫乙個 \(o(n^2)\) 的樹形 \(\text\) 就可以解決，解題的思想就是用 \(\text\) 來優化子集反演中暴力列舉條件集合的過程。

這個東西就與子集反演比較類似了，一般應用於現在的條件集合與具體哪些沒有關係，而只與集合大小有關。

同樣欽定若干個條件滿足，設為 \(g_i\)，將恰好的方案數設為 \(f_i\)，有 \(g_i=\sum \limits_f_k\binom\)。

然後根據二項式反演可以得到 \(f_i=\sum \limits_g_k\binom(-1)^\)。

同樣用代入的方法證明，將前乙個式子代入後乙個。

\(f_i=\sum \limits_\sum \limits_f_j\binom\binom(-1)^\)

\(=\sum \limits_f_j \sum \limits_\binom\binom(-1)^\)

\(=\sum \limits_f_j \binom \sum \limits_^\binom(-1)^k\)

\(=\sum \limits_f_j \binom (1-1)^=f_i\)

集合計數

乙個有 \(n\) 個元素的集合有 \(2^n\) 個不同子集（包含空集）。

現在要在這 \(2^n\) 個集合中取出至少乙個集合，使得它們的交集的元素個數為 \(k\) ，求取法的方案數。

\(1 \leq n \leq 10^6 ，0 \leq k \leq n\)。

要求的是交集大小恰好為 \(k\) ，設為 \(f_k\)，有乙個容易算出的東西是欽定交集大小至少為 \(k\)，設為 \(g_k\)，有 \(g_k=\binom (2^}-1)\)。

\(g_k=\sum \limits_ \binomf_i\)

所以可以套用二項式反演的式子得到 \(f_k=\sum \limits_\binom(-1)^g_i\)

七選五設 \(f_i\) 表示至少 \(i\) 個元素放在對應位置的方案數，\(g_i\) 表示恰好 \(i\) 個元素放在對應位置的方案數，有 \(f_i = \sum \limits_^n g_j \binom, f_i = \binom \binom(k-i)!\)。

反演一下就有 \(g_i = \sum \limits_^n f_j \binom(-1)^\)，這個就是答案了，這道題的 \(n=k,x=0\) 算是經典的錯排問題。