我們為了能說清楚動態規劃的思路，下面先簡化下合唱團的題：
1、明確問題的目標是：
（1）求k個數的最大乘積
（2）相鄰索引值差<=d
2、分解問題：
為了求解方便，我們來定個標準，根據k個數的末尾元素把目標問題分為以下n種情況
對以上n種情況比較結果，最後選取最大乘積輸出，就是我們要求的目標值了。不過這樣我們還需要求出每個結束元素前的k-1個數的最大乘積，這個新問題是不是似曾相識呢？求k-1個數的最大乘積同樣又可以以剛才分析的方式去思考，以末尾元素為標準分為幾種情況。
那麼現在看來為了求目標問題，我們需要明確兩個變數的值，乙個是末尾元素，另乙個是前k-1個最大乘積。因為我們求 k 個數最大乘積依賴於末尾元素和前k-1個數的最大乘積兩個因素。我們定義乙個二維陣列q，行 i 代表末尾元素的索引值，列 j 代表長度。q[i][j] 表示以 a[i] 為末尾元素，長度為 j+1 的最大乘積值。是不是有點抽象了，沒關係，接下來會一目了然的。
3、我們先拿個例子走下流程：a[5] = [4,5,2,1,7]，k=3，d=2
狀態陣列q：
j= 0 1 2
i=0 [ [ 4 ]
i=1 [ 5 20 ]
i=2 [ 2 10 40 ]
i=3 [ 1 5 20 ]
i=4 [ 7 14 70 ] ]
（1）先找到初始狀態，k=1時，末尾元素為a[i]，即q[i][0] = a[i]，填充 q 陣列。
（2）別忘了，我們有個約束條件，相鄰索引值差<=d。假設長度為k的末尾元素索引值為i，它之前長度k-1的最後乙個元素索引為p，那麼 i-p<=d=2，即 max(i-2,0)=
（3）有了初始狀態，目標值還會遠嗎？
接下來看長度 k =2的情況 (即j=1，依賴於j=0的最大乘積和末尾元素)，末尾元素為 a[0]，長度只能為1，排除。
末尾元素為 a[1]，前乙個元素索引範圍 0=
末尾元素為 a[2]，前乙個元素索引範圍 0=
末尾元素為 a[3]，前乙個元素索引範圍 1=
末尾元素為 a[4]，前乙個元素索引範圍 2=
（4）加油，還差一點點，你就成功了。
接下來看長度 k =3 (即j=2，依賴於j=1的最大乘積和末尾元素)，末尾元素為 a[0]，長度只能為1，排除。
末尾元素為 a[1]，長度最多為2，排除。
末尾元素為 a[2]，前乙個元素索引範圍 0=
末尾元素為 a[3]，前乙個元素索引範圍 1=
末尾元素為 a[4]，前乙個元素索引範圍 2=
以上我們把狀態陣列q全部求出來了，不要因為走的太遠而忘記為什麼出發，我們的目標是比較末尾元素為a[i]的長度為k的最大乘積。那就比較q[i][2]，得出70是以a[4]為末尾元素的長度為3的最大乘積。大致的思路就是這些了，原來求 k 個數的最大乘積要回溯到 k=1 時初始狀態一步步求解啊。
搞明白了思路，**也就出來了。就這個例子而言，**如下：
14、下面我們來總結動態規劃#coding:utf-8
2 a = [4,5,2,1,7]
3 k = 3
4 d = 2
5 n =len(a)
6 q = [[0 for j in range(k)] for i in
range(n)]7#
j代表列 i代表行 對狀態陣列q賦值
8 value =0
9for j in
range(k):
10for i in
range(n):11#
初始化第0列
12if j ==0:
13 q[i][j] =a[i]
14continue
15for l in range(max(0,i-d),i):
16 q[i][j] = max(q[i][j], q[l][j-1]*a[i])
17if j == k-1:
18 value =max(value, q[i][j])
19print value
實際上動態規劃問題都可以用遞迴來求解，不過遞迴的時候會求重複項並且造成棧溢位問題，所以我們借助狀態陣列把每個狀態（遞迴返回值 ）記錄下來，用自底而下的思想去求解目標問題，從遞迴的邊界條件出發求得動態規劃的初始狀態，然後一步步求解目標，相當於遞迴的逆過程。
動規解題的一般思路
（1） 原問題分解為子問題
（2）確定狀態
整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需時間。
（3）確定一些初始狀態（邊界狀態）的值
以上面為例，就是求解q陣列第一列的值。
（4） 確定狀態轉移方程
定義出什麼是「狀態」，以
及在該「狀態」下的「值」後，就要找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從乙個或多個「值」已知的 「狀態」，求出另乙個「狀態」的「值」(遞推型)。狀態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作「狀態轉移方程」。
特點：1>問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質。
2>無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。
引申：想到hmm裡的維特比演算法也是利用動態規劃求解最短路徑，有必要再加強學習下！
參考：
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