資料結構與演算法字串（中）

kmp模式匹配演算法

我們的前輩d.e.knuth、j.h.morris和v.r.pratt發表了乙個模式匹配演算法，可以大大避免重複遍歷的情況，我們把它稱為克努特--莫里斯----普拉特演算法，簡稱kmp演算法。我們不直接看演算法，我們先通過例項來研究它的原理，懂了原理，算法學起來就easy了。

假設主串s=」abcdefgab「，子串t=」abcdex「。如果是按樸素的模式匹配演算法，需要經過以下步驟:

我們通過①可以知道:1.子串t的首位字元a與其它字元互不相等.2.子串t的前5位字元,與主串前五位字元相等.由已知條件,我們可以知道子串t的首字元a一定與主串2,3,4,5位置的字元不相等。因此,②③④⑤判斷是可以省略掉的。這樣,是不是效率提高了很多。(注意，字串首字元a與子串其中字元不相等，是kmp的前提。)有朋友會問：」如果子串首字元a有子串中其他字元有相同，那麼還可以這麼高效麼?」我們一起來檢驗一下:

s=「abcabcabc」，t=「abcabcbx」。分析一下處理經過:

因為子串首字元a與子串第二個字元b、第三個字元c不相等。又因為字元b、c與主串的第二位，第三位字元相等。那麼可以省略掉②③步，又因為子串第乙個字元a、第二個字元b，分別與子串第五個字元a、第六個字元b相等，又因為字元a、字元b分別與主串第五位、第六位字元相等，所以④⑤可以省略。這樣開來，即使子串出現了與首字元相等的字元，也是可以省略掉一部分不必要的判斷步驟的。對比這兩個例子，我們發現，①中我的i值也就是主串的下標為6，②③④⑤分別為2，3，4，5。通過觀察，我們②③④⑤是可以省略的，也就是說i值不需要回溯(樸素的模式匹配演算法，是通過i判斷字元是否相等，i值回溯)。kmp的原理就是控制i 的值，使其不能變小，從而減除了很多不必要的重複判斷。既然i值不回溯了，那麼就讓j回溯。通過觀察，我們發現j值得變化與主串沒有關係。我們屢屢提到子串的首字元與自身後面的字元比較，我們發現，當首字元與自身後面的字元不同時，j值的變化就會不同。j值的變化取決字串t的結構中是否有重複的問題。

例如上面t=「abcdex」,當中沒有重複的，所以j值就由6變為1。t=「abcabx」，由於字首ab與字尾ab是相等的，所以j由6變為了3。因此，我們得出結論：」j值得多少，取決於當前字元之前的串的前字尾的相似度」。我們把t串各個位置j值得變化，定義為乙個陣列next。那麼next的長度就是t串的長度。我們可以得出下面的函式定義：

next陣列推導:

當j=1時，next[1]=0;

當j=2時，t串2位置之前只有a,屬於其他情況。next[2]=1;

當j=3時，t串3位置之前有a、b，不相等，屬於其他情況。next[3]=1;

當j=4時，t串的4位置之前有a、b、c，不相等,屬於其他情況。next[4]=1;

當j=5時，t串的5位置之前有a、b、c、d，不相等，屬於其他情況。next[5]=1;

當j=6時，t串的6位置之前有a、b、c、d、e，不相等，屬於其他情況。next[6]=1;

所以子串t各個位置j值的變化陣列為next[6]=011111

當j=1時，t串的一位置之前沒有字元，所以next[1]=0;

當j=2時，t串2位置之前只有乙個字元a，屬於其他情況.next[2]=1;

當j=3時，t串3位置之前有字元a、b，a b不相等，所以屬於其他情況.next[3]=1;

當j=4時，t串4位置之前有abc，互不相等，所以屬於其他情況next[4]=1;

當j=5時，t串5位置之前有abca，其中位置1與位置4相等。根據』p1…pk-1』=pj-k+1…..pj-1，p1=p4,得k=2，next[5]=2;

當j=6時, t串6位置之前有abcab，其中位置1、2與位置4、5相等。根據』p1….pk-1=pj-k+1….pj-1，得k=3,next[6]=3;

通過next陣列推導，我們可以發現，當前位置字元之前的串的，如果前字尾相等字元的個數為n，那麼當前位置的j值為n+1.

kmp模式匹配演算法實現

/*
功能:獲取子串各個位置的j值變化陣列
*/void get_next(string t, int *next)
else}}

這段**是為了，獲得子串各個位置j值的變化。

/*
功能:返回子串t在主串s中pos後，出現的位置。如果沒有，返回0
*/int index_kmp(string s, string t, int
pos)
else
}if (j > t[0
])        
return i - t[0
];    
else
return0;
}

這段**是kmp模式匹配的完整演算法。

kmp模式匹配演算法改進

我們發現這個kmp模式匹配演算法還是有缺陷的。例如:主串s=」aaaabcde」，子串=」aaaaax」.next陣列值分別為012345。看圖:

當i=5,j=5,主串b與子串的a不相等。j回溯到4位置。此時同樣是字元a，還是與主串的5位置b不等。j回溯到3位置，此時還是字元a,與主串的5位置b不等。依次類推，直到i改變位置。那麼②③④⑤步驟，都是可以省略的。我們可以使用next[1]來代替相等字元的next[j]。例如，在①中，此時i=5,j=5,字元不相等，j應該回溯到4位置。此時我們判斷4位置的字元是否與4位置相等，直接回溯到4位置對應的next陣列的值3.我們看一下改進的演算法**:

void get_nextval(string t, int *nextval)
else}}

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