公式渲染修好了。對於邏輯\(\oplus\)的卷積，而且你不能n方豹草
\[a_k=\sum_ b_ic_j\\
\]那麼嘗試構造變換\(f_\)和反演\(f_^\)使滿足
\[f_(a)_k=f_(b)_k f_(c)_k\\
a_k=f_^(f_(a))_k
\]用來加速運算。
定義或、與卷積的變換分別為
\[f_(a)_k=\sum_a_i,f_(a)_k=\sum_a_i
\]如下驗證兩種變換的可行性
\[\begin
&\begin
f_(b)_k f_(c)_k
&=\sum_b(i)\sum_c(j)
\\&=\sum_\sum_b(i) c(j)
\\&=\sum_a(x)
\\&=f_(a)_k
\end
&\begin
f_(b)_k f_(c)_k
&=\sum_b(i)\sum_c(j)
\\&=\sum_\sum_b(i) c(j)
\\&=\sum_a(x)
\\&=f_(a)_k
\end
\end
\]驗證成功。
如何實現這兩種變換？注意到如果將\(n\)位二進位制數域對映到乙個\(n\)維空間，則\(f_(a)_i\)相當於在空間內求高維字首和，\(f_(a)\)則是求高維字尾和。
因此直接上高維前/字尾和就能做到\(o(n2^n)\)的複雜度，這樣的做法屬於「快速莫比烏斯變換」。
void fmt_or(int a,int len) \)個區間，並記\(f_(a)_\)表示x所在區間中所有下標與x就二進位制末i+1位滿足特定規則的元素累和。
例如\(f_(a)_=a_x\)，而所求\(f_(a)_x=f_(a)_\)。
從階段i轉移到階段i+1時，階段i+1的乙個區間內的答案顯然由階段i中位置對應的相鄰兩個區間內的答案轉移而來，此時決策為二進位制第i+2末位的取與不取，即從\(f_(a)_\)和\(f_(a)_\)轉移到\(f_(a)_\)和\(f_(a)_\)，其中l是階段i+1中的某個區間的左端點。這四個狀態，設為狀態a,b,c,d，狀態b,d能夠表示取到第i+2末位。(其實b的取是假的，因為b不存在在i+2位產生的貢獻)。轉移按照變換式針對這四個狀態做就好了。
例如或卷積中，a,b的下標 或上\(2^\)（取到i+2位）得到d的下標，而只有a的下標 或上\(0\)（不取i+2位）得到c的下標；只有b的下標 與上\(2^\)（取到i+2位）得到d的下標，a,b的下標 與上\(0\)（不取i+2位）得到c的下標。實現如下
void fwt_or(int a,int len) ^(a)_k=\sum_ (-1)^f_(a)_k\\
f_^(a)_k=\sum_ (-1)^f_(a)_k
\]其中\(|i|\)是將\(i\)的二進位製上\(1\)的個數。
先來「快速莫比烏斯反演」做法，直接把變換逆過來做
void ifmt_or(int a,int len) (a)_k=\sum_ (-1)^a_i
\]這次不去驗證，考慮直接推導【膜rockdu】，首先假定變換\(f_(a)\)與\(a\)線性相關，如下，
\[f_(a)_k=\sum_ g(k,i)a_i
\]當然\(g(,)\)是需要能支援反演的，因此\(g(,)=0\)之類的就不考慮了。那麼
\[\begin
f_(a)_k&=\sum_g(k,i)a_i=\sum_g(k,i)\sum_b_pc_q
\\&=\sum_\sum_g(k,i\veebar j)b_ic_j
\\f_(b)_k f_(c)_k
&=\sum_g(k,i)b_i\sum_g(k,j)c_j
\\&=\sum_\sum_g(k,i)g(k,j)b_ic_j
\\g(k,i\veebar j)&=g(k,i) g(k,j)
\end
\]我們需要構造乙個\(g(,)\)。
注意\(|i\veebar j|=|i|+|j|\pmod2\)，以及\((i\veebar j)\wedge k=(i\wedge k)\veebar (j\wedge k)\)，那麼
\[|(i\veebar j)\wedge k|=|(i\wedge k)\veebar(i\wedge k) |=|i\wedge k|+|j\wedge k|\pmod2\\
(-1)^=(-1)^(-1)^
\]因此令\(g(k,i)=(-1)^\)就能得到乙個合法變換
\[f_(a)_k=\sum_(-1)^a_i
\]如何實現這種變換？高維前/字尾和似乎已經g了，使用快速沃爾什變換，相鄰兩個階段轉移，要討論對下標與的二進位制1的個數的影響，結果如下
\[f_(a)_=f_(a)_+f_(a)_\\
f_(a)_=f_(a)_-f_(a)_
\]那麼變換就完成了
void fwt_xor(int a,int len) ^(a)_=f_(a)_\\
f_^(a)_=\frac^(a)_+f_^(a)_}2\\
f_^(a)_=\frac^(a)_-f_^(a)_}2\\
\]實現如下
void fwt_xor(int a,int len) \sum_ [i\vee j=k][i\wedge j=0] b_ic_j
\\=\sum_\sum_ [|i|+|j|=|k|] b_ic_j
\]可以列舉補充一維集合大小，從小到大列舉集合大小，分別做一次或卷積，時間複雜度\(o(n^22^n)\)。
還在補。
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