這學期剛學習完線性代數，雖然說起來工科生的線性代數不算很難，不過如果要想學的更深入一些，則還有很多材料可供閱讀與理解。最近時間不多，難以實踐這樣的設想；先把這學期所學的一點點內容做一些簡單的整理，提高的工作得之後再抽時間來做了。
這次整理的是有關於矩陣秩的四個簡單命題，不過我覺得這些命題的證明方法都具有一定的代表性，雖然不難理解，但還是有一些值得品味的地方。因此放在這裡，分享給大家。（這幾個命題的證明，都是我自己完成的，畢竟這種像練習題一樣的命題，證明起來難度都不大。如果所學不多的話，證明方法大概也是大同小異的吧）
命題1：設$\mathbf_,\mathbf_$.若$\mathbf=\mathbf$,則$r(\mathbf)+r(\mathbf)\leq n$.證明：若$\mathbf=\mathbf$,結論必成立.反之,則$\mathbf$至少有乙個非零列$\mathbf$.則
$$\mathbf=\mathbf[\mathbf \cdots \mathbf \cdots \mathbf]=[\mathbf \cdots \mathbf \cdots \mathbf]=\mathbf,$$
從而$\mathbf$至少有$r(\mathbf)$個線性無關解.由此知
$$r(\mathbf)\leq n-r(\mathbf),$$
移項即得所需證明的結果.
命題2：若$\mathbf$是同型矩陣,則有$r(\mathbf)+r(\mathbf)\geq r(\mathbf)$.證明：設$\mathbf$的極大無關列向量組為$$\,\cdots,\alpha_)}}\},$$ $\mathbf$的極大無關列向量組為$$\,\cdots,\beta_)}}\}.$$ 那麼顯然,$\mathbf$的列向量組必為$\mathbf$各自極大無關列向量組的並集之張成
$$\mathbf=\mathrm\,\cdots,\alpha_)}},\beta_,\cdots,\beta_)}}\},$$
而該向量組的秩$r(\mathbf)$不超過作為張成"基底"的元素數,即$r(\mathbf)\leq r(\mathbf+r(\mathbf)$.由此,便有
$$r(\mathbf)\leq r(\mathbf)\leq r(\mathbf)+r(\mathbf).$$
命題3：$r(\mathbf)\leq \min\),r(\mathbf)\}$.證明：設$\mathbf$的極大無關列向量組為$\,\cdots,\beta_)}}\}$.則$b$左乘$a$後所得到的對應列變為
$$\mathbf=\\beta_,\cdots,\mathbf\beta_)}}\},$$
易見$ab$的各列向量均屬於$\mathrm\mathbf$.但是如同命題2中那樣,應當有$r(\mathbf)\leq r(\mathbf)$(如出現$\mathbf\beta_=\mathbf$等情況).因此,可以得到
$$r(\mathbf)\leq r(\mathbf)\leq r(\mathbf).$$
再利用轉置關係和剛剛所得到的結論,便有
$$r(\mathbf)=r(\mathbf^t \mathbf^t)\leq r(\mathbf^t)=r(\mathbf),$$
由此即知$r(\mathbf)\leq\max\),r(\mathbf)\}.$
命題4：證明：分情況考慮.設$\mathbf_$,則
$$r(\mathbf^)=
\begin
n &, r(\mathbf)=n;\\
1 &, r(\mathbf)=n-1;\\
0 &, r(\mathbf)\leq n-2.
\end
$$其中$\mathbf^$為$\mathbf$的伴隨矩陣.
若$r(\mathbf)=n$,那麼將有$|\mathbf|\neq 0$,進而$|\mathbf^|=|\mathbf|^\neq 0$,故$r(\mathbf^)=n.$
若$r(\mathbf)=n-1$,那麼必有$\mathbf^\neq \mathbf$(此時$\mathbf$尚有$n-1$階非零余子式),從而得到
\begin \label
r(\mathbf^)\geq 1.
\end
另一方面,由於$\mathbf$非滿秩,故$|\mathbf|=0$,從而根據
$$\mathbf\mathbf^=|\mathbf|\mathbf=\mathbf$$
並利用命題1的結論,即可以知道$r(\mathbf^)+r(\mathbf)\leq n$,從而
\begin \label
r(\mathbf^)\leq n-r(\mathbf)=1.
\end
綜合不等式$\mbox)}$,$\mbox)}$,即得$$r(\mathbf^)=1.$$
若$r(\mathbf)\leq n-2$,那麼$\mathbf$的所有$n-1$階余子式均為0,從而必有$$\mathbf^=\mathbf.$$由此便有$$r(\mathbf^)=0.$$
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