網路流初步詳解2

網路流初步詳解中大致談了一下最大流的一些演算法，其中dinic是非常重要的，補一句：最大流 == 最小割。

本文包括:

1.費用流的概念及基本性質

2.edmonds-karp增廣路演算法求費用流

3.一些關於費用流的技巧

4.關於費用流的刷題指南

//假設您已經理解了dinic演算法和ek演算法二者之一。

對於我們原來的網路流，現在給你乙個網路，每條邊除了有流量（容量）的限制外，還有乙個單位費用，經過這條邊，我們不僅要符合可行流的條件，還要付出乙個費用 = 單位費用和該邊流量之積。

而對於費用流，現在主要可分為「最小費用最大流」和「最大費用最大流」兩種基本題型。（至於最小流一般會出現在有上下界的網路流中，這個會在網路流初步詳解3中講解）

最重要的，上述兩種基本題型模板基本相同，並且是以最大流為前提。

再次重複：您需要理解了dinic演算法和ek演算法二者之一，這樣你可以在5分鐘內學會費用流模板。

我們在這裡考慮，為什麼不能在dinic演算法的基礎上求出費用流。

這裡簡單談下，dinic演算法是乙個基於殘量網路上不斷找出増廣路的演算法，我們在找増廣路時，只是考慮了流量和分層圖的深度問題，而我們加上單位費用限制後，這種只要可以増廣就馬上増廣的演算法就難以變通。

這是我們不妨考慮效率較低，但每次bfs只隨機找到一條増廣路的edmonds-karp增廣路演算法。我們很容易發現，我們可以限制這個「隨機」増廣路，從而讓它滿足費用最大或最小的條件。具體我們將採用乙個鮮為人知的被卡死spfa來實現。

先說一下，為了滿足我們最大流的「斜對稱」原則，及我們可以反悔，以求出最大流，反邊的單位費用稍作處理，賦值為 -w

void add_edge(int x, int y, int z, int c)

然後我們來講解具體的最短路上實現増廣路操作。(這裡給出最小費用最大流)

這裡給出2個**，前者是正確的，而後者可能會出現tle和wa的錯誤，請讀者仔細思考。

ac：

bool spfa() }}
if ( dis[t] == 0x3f3f3f3f ) return false; // 匯點不可達，已求出最大流
return true;
}void update() 
maxflow += flow[ t ] ;
ans += dis[ t ]*flow[ t ] ;//這裡多解釋一下，由於只掃出了一條増廣路，不可能存在有像dinic一樣的流量分叉，加之流量守恆定律，所以這條増廣路上增加的可行流量在每條邊上都相等。
}

多種方案可滿足最大流時tle和wa**片段

for( register int  i = head[ x ] ; i ; i = nex[ i ] )
}}//省略了部分相同**
void update() 
maxflow += flow[ t ] ;
ans += dis[ t ] ;//這裡的dis已經是實際消費。
}

在感性理解上，2個**片段給讀者的感覺是：好像都一樣的呀？而且後者彷彿正確性格更顯然啊。在我第一次看的時候，我百思不得其解。為了具體，給你乙個樣例，請讀者不要跳過此節：

假設我現在有 8 的流量要流出，有且僅有兩條可行邊，都可以滿流到達匯點，分別為

a邊：流量為 10 ，單位費用為 2 。滿流全費 20

b邊：流量為 2 ，單位費用為 4 。滿流全費 8

最優策略（ac**）：全流a邊 20費。

感性策略（wa**）：b 滿流全費小於 a ， b費 8 ， a費16 ，總費 26 。

感性策略的方法只滿足了區域性最優解（雖然可以保證最大流），而不能維護整體最優解。

這種情況只有在有多種方案可滿足最大流時會中等機率（看資料）tle或者wa。

完整ac**：（改自李煜東的模板，這個板子親測常數較小，碼風清奇）

#includeusing namespace std;

const int maxn = 5010, maxm = 100010 , oo = ( 1 << 30 ) ;

int to[ maxm*2 ], w[ maxm*2 ], cost[ maxm*2 ], nex[ maxm*2 ], head[ maxn ];

int dis[ maxn ] , flow[ maxn ] , pre[ maxn ] ;

int n , m , s , t , maxflow , ans, tot = 1 ;

bool v[ maxn ] ;

inline int read()

while(g>='0'&&g<='9')

return s*w;

}//(快讀很醜，但費用流**很好記)

void add(int x, int y, int z, int c)

bool spfa() }}

if ( dis[t] == 0x3f3f3f3f ) return false; // 匯點不可達，已求出最大流

return true;

}void update()

maxflow += flow[ t ] ;

ans += dis[ t ]*flow[ t ] ;

}int main()

while (spfa()) update(); // 計算最小費用最大流

cout<< maxflow <<" "《例題來自洛谷【模板】最小費用最大流。

3.一些關於費用流的技巧

無論是最大流還是費用流中，讀題，抽象，建圖，這才是最重要的，板子幾乎不會變。

可以在二分圖的公升級版--帶權二分圖上愉快地跑網路流。

我們在很多時候都需要拆點操作，以達到限流或限費的目的。

我們在題目中會遇到很多要建立一些0費的邊，以此達到連線和其他的目的。

在【網路流初步詳解3】中我還將講解一些在有上下界的費用流的一些技巧。（暫時鴿了，因為本人太菜，可能不久後就會面臨退役，所以會先鞏固noip）

4.關於費用流的刷題指南

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