數學建模十大演算法漫談
作者:july
二零一一年一月二十九日
本文參考：
i、 細數二十世紀最偉大的十大演算法 [譯者：本人july]
ii、 本blog內 經典演算法研究系列
iii、維基百科
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博主說明:
1、此數學建模十大演算法依據網上的乙份榜單而寫，本文對此十大演算法作一一簡單介紹。
這只是乙份榜單而已，數學建模中還有很多的演算法，未一一囊括。歡迎讀者提供更多的好的演算法。
2、在具體闡述每一演算法的應用時，除了列出常見的應用之外，
同時，還會具體結合數學建模競賽一一闡述。
畢竟，此十大演算法，在數學建模競賽中有著無比廣泛而重要的應用。
且，凡是標著「某某年某國某題」，即是那一年某個國家的數學建模競賽原題。
3、此十大演算法，在一些經典的演算法設計書籍上，無過多闡述。
若要具體細緻的深入研究，還得請參考國內或國際上關於此十大演算法的優秀**。
謝謝。一、蒙特卡羅演算法
2023年，美國拉斯阿莫斯國家實驗室的三位科學家john von neumann,stan ulam 和 nick metropolis
共同發明了，蒙特卡羅方法。
此演算法被評為20世紀最偉大的十大演算法之一，詳情，請參見我的博文：
蒙特卡羅方法（monte carlo method），又稱隨機抽樣或統計模擬方法，是一種以概率統計理論為指導
的一類非常重要的數值計算方法。此方法使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方
法。由於傳統的經驗方法由於不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法由於能夠真
實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。
蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：
當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變數的期望值時，通過某種「實驗」的方法
，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變數的某些數字特徵，並將其作
為問題的解。
有乙個例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡洛方法：
假設我們要計算乙個不規則圖形的面積，那麼圖形的不規則程度和分析性計算（比如，積分）的複雜程
度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎麼計算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個圖形上撒，然
後數這個圖形之中有多少顆豆子，這個豆子的數目就是圖形的面積。當你的豆子越小，撒的越多的時候
，結果就越精確。
在這裡我們要假定豆子都在乙個平面上，相互之間沒有重疊。
蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特徵，利用數學方法來加以模擬，即進行一種數字模
擬實驗。它是以乙個概率模型為基礎，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結果，作為問題的
近似解。
蒙特卡羅方法與一般計算方法有很大區別，一般計算方法對於解決多維或因素複雜的問題非常困難，而
蒙特卡羅方法對於解決這方面的問題卻比較簡單。其特點如下：
i、 直接追蹤粒子，物理思路清晰，易於理解。
ii、 採用隨機抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運的過程，反映了統計漲落的規律。
iii、不受系統多維、多因素等複雜性的限制，是解決複雜系統粒子輸運問題的好方法。
等等。此演算法，日後還會在本blog 內詳細闡述。
二、資料擬合、引數估計、插值等資料處理演算法
我們通常會遇到大量的資料需要處理， 而處理資料的關鍵就在於這些演算法，通常使用matlab作為工具。
資料擬合在數學建模比賽中中有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關係，乙個例子就是98年數
學建模美國賽a題，生物組織切片的三維插值處理，94年a題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，還有
吵的沸沸揚揚可能會考的「非典」問題也要用到資料擬合演算法，觀察資料的走向進行處理。
此類問題在 matlab 中有很多現成的函式可以呼叫，熟悉matlab，這些方法都能游刃有餘的用好。
三、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
數學建模競賽中很多問題都和數學規劃有關，可以說不少的模型都可以歸結為一組不等式作為約束條件
、幾個函式表示式作為目標函式的問題，遇到這類問題，求解就是關鍵了，比如98年b題，用很多不等式
完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規劃後用 lindo 、 lingo 等軟體來進行解決比較方便，所以還
需要熟悉這兩個軟體。
四、圖論演算法
這類問題演算法有很多，
包括： dijkstra 、 floyd 、 prim 、 bellman-ford ，最大流，二分匹配等問題。
關於此類圖論演算法，可參考introduction to algorithms--演算法導論，關於圖演算法的第22章-第26章。
同時，本blog內經典演算法研究系列，對dijkstra演算法有所簡單描述，
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經典演算法研究系列：二、dijkstra 演算法初探
五、動態規劃、回溯搜尋、分治演算法、分支定界等計算機演算法
在數學建模競賽中，如:92 年b題用分枝定界法， 97年b題是典型的動態規劃問題，
此外 98 年 b 題體現了分治演算法。
這方面問題和 acm 程式設計競賽中的問題類似，
推薦看一下演算法導論，與《計算機演算法設計與分析》（電子工業出版社）等與計算機演算法有關的書。
六、最優化理論的三大經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法
這十幾年來最優化理論有了飛速發展，模擬退火法、神經網路、遺傳演算法這三類演算法發展很快。
在數學建模競賽中：比如97年a題的模擬退火演算法,00年b題的神經網路分類演算法，01年b題這種難題也可
以使用神經網路，還有美國競賽89年a題也和 bp 演算法有關係，當時是86年剛提出bp演算法，89年就考了，
說明賽題可能是當今前沿科技的抽象體現。
03 年 b 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前演算法最佳的是遺傳演算法。
另，本人對人工智慧非常感興趣，遺傳演算法已在本blog內有所闡述，敬請參見。
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經典演算法研究系列：七、深入淺出遺傳演算法，透析ga本質
其它倆大演算法，模擬退火法，與神經網路，也定會在本blog內日後的博文更新中，詳細闡述。
七、網格演算法和窮舉法
網格演算法和窮舉法一樣，只是網格法是連續問題的窮舉。
比如要求在 n 個變數情況下的最優化問題，那麼對這些變數可取的空間進行採點，
比如在 [ a; b ] 區間內取 m +1 個點，就是 a; a +( b ? a ) =m; a +2 ￠ ( b ? a ) =m ; …；b
那麼這樣迴圈就需要進行 ( m + 1) n 次運算，所以計算量很大。
在數學建模競賽中：比如 97 年 a 題、 99 年 b 題都可以用網格法搜尋，這種方法最好在運算速度較
快的計算機中進行，還有要用高階語言來做，最好不要用 matlab 做網格，否則會算很久。
窮舉法大家都熟悉，自不用多說了。
八、一些連續離散化方法
大部分物理問題的程式設計解決，都和這種方法有一定的聯絡。物理問題是反映我們生活在乙個連續的世界
中，計算機只能處理離散的量，所以需要對連續量進行離散處理。
這種方法應用很廣，而且和上面的很多演算法有關。
事實上，網格演算法、蒙特卡羅演算法、模擬退火都用了這個思想。
九、數值分析演算法
數值分析（numerical analysis），是數學的乙個分支，主要研究連續數學（區別於離散數學）問題的
演算法。如果在比賽中採用高階語言進行程式設計的話，那一些數值分析中常用的演算法比 如方程組求解、矩陣運算、
函式積分等演算法就需要額外編寫庫函式進行呼叫。
這類演算法是針對高階語言而專門設的，如果你用的是 matlab 、 mathematica ，大可不必準備，
因為像數值分析中有很多函式一般的數學軟體是具備的。
十、圖象處理演算法
在數學建模競賽中：比如01 年 a 題中需要你會讀 bmp 圖象、美國賽 98 年 a 題需要你知道三維插值
計算， 03 年 b 題要求更高，不但需要程式設計計算還要進行處理，而數模**中也有很多需要展示，
因此圖象處理就是關鍵。做好這類問題，重要的是把matlab 學好，特別是圖象處理的部分。
本人對演算法，尤其感興趣，且日漸愈濃，
日後，更多的、好的、經典實用演算法將會在本blog內有所詳細而細緻入微的闡述與深入研究。
完。
數學建模十大經典演算法漫談
數學建模十大演算法漫談作者 july 二零一一年一月二十九日 本文參考 i 細數二十世紀最偉大的十大演算法 譯者 本人july ii 本blog內 經典演算法研究系列 iii 維基百科 博主說明 1 此數學建模十大演算法依據網上的乙份榜單而寫，本文對此十大演算法作一一簡單介紹。這只是乙份榜單而已，數...
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分類 dsp數字訊號處理 小常識 2013 10 08 21 44 165人閱讀收藏 舉報 數學建模十大演算法漫談 本文參考 i 細數二十世紀最偉大的十大演算法 譯者 本人july ii 本blog內 經典演算法研究系列 iii 維基百科 博主說明 1 此數學建模十大演算法依據網上的乙份榜單而寫，本...
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