數學建模十大經典演算法漫談

本文參考：

i、細數二十世紀最偉大的十大演算法 [譯者：本人july]

ii、本blog內經典演算法研究系列

iii、維基百科

1、此數學建模十大演算法依據網上的乙份榜單而寫，本文對此十大演算法作一一簡單介紹。

這只是乙份榜單而已，數學建模中還有很多的演算法，未一一囊括。歡迎讀者提供更多的好的演算法。

2、在具體闡述每一演算法的應用時，除了列出常見的應用之外，

同時，還會具體結合數學建模競賽一一闡述。

畢竟，此十大演算法，在數學建模競賽中有著無比廣泛而重要的應用。

且，凡是標著「某某年某國某題」，即是那一年某個國家的數學建模競賽原題。

3、此十大演算法，在一些經典的演算法設計書籍上，無過多闡述。

若要具體細緻的深入研究，還得請參考國內或國際上關於此十大演算法的優秀**。

謝謝。2023年，美國拉斯阿莫斯國家實驗室的三位科學家john von neumann,stan ulam 和nick metropolis共同發明了蒙特卡羅方法。

此演算法被評為20世紀最偉大的十大演算法之一，詳情，請參見我的博文：

蒙特卡羅方法（monte carlo method），又稱隨機抽樣或統計模擬方法，是一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。此方法使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

由於傳統的經驗方法由於不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法由於能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。

蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：

當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變數的期望值時，通過某種「實驗」的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變數的某些數字特徵，並將其作為問題的解。

有乙個例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡洛方法：

假設我們要計算乙個不規則圖形的面積，那麼圖形的不規則程度和分析性計算（比如，積分）的複雜程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎麼計算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個圖形上撒，然後數這個圖形之中有多少顆豆子，這個豆子的數目就是圖形的面積。當你的豆子越小，撒的越多的時候，結果就越精確。

在這裡我們要假定豆子都在乙個平面上，相互之間沒有重疊。

蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特徵，利用數學方法來加以模擬，即進行一種數字模擬實驗。它是以乙個概率模型為基礎，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結果，作為問題的近似解。

蒙特卡羅方法與一般計算方法有很大區別，一般計算方法對於解決多維或因素複雜的問題非常困難，而蒙特卡羅方法對於解決這方面的問題卻比較簡單。其特點如下：

i、直接追蹤粒子，物理思路清晰，易於理解。

ii、採用隨機抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運的過程，反映了統計漲落的規律。

iii、不受系統多維、多因素等複雜性的限制，是解決複雜系統粒子輸運問題的好方法。

等等。此演算法，日後還會在本blog 內詳細闡述。

我們通常會遇到大量的資料需要處理，而處理資料的關鍵就在於這些演算法，通常使用matlab作為工具。資料擬合在數學建模比賽中中有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關係，乙個例子就是98年數學建模美國賽a題，生物組織切片的三維插值處理，94年a題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，還有吵的沸沸揚揚可能會考的「非典」問題也要用到資料擬合演算法，觀察資料的走向進行處理。

此類問題在 matlab 中有很多現成的函式可以呼叫，熟悉matlab，這些方法都能游刃有餘的用好。

數學建模競賽中很多問題都和數學規劃有關，可以說不少的模型都可以歸結為一組不等式作為約束條件、幾個函式表示式作為目標函式的問題，遇到這類問題，求解就是關鍵了，比如98年b題，用很多不等式完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規劃後用 lindo 、 lingo 等軟體來進行解決比較方便，所以還需要熟悉這兩個軟體。

這類問題演算法有很多，

包括： dijkstra 、 floyd 、 prim 、 bellman-ford ，最大流，二分匹配等問題。

關於此類圖論演算法，可參考introduction to algorithms–演算法導論，關於圖演算法的第22章-第26章。同時，本blog內經典演算法研究系列，對dijkstra演算法有所簡單描述

經典演算法研究系列：二、dijkstra 演算法初探

在數學建模競賽中，如:92 年b題用分枝定界法， 97年b題是典型的動態規劃問題，此外 98 年 b 題體現了分治演算法。

這方面問題和 acm 程式設計競賽中的問題類似，

推薦看一下演算法導論，與《計算機演算法設計與分析》（電子工業出版社）等與計算機演算法有關的書。

這十幾年來最優化理論有了飛速發展，模擬退火法、神經網路、遺傳演算法這三類演算法發展很快。

在數學建模競賽中：比如97年a題的模擬退火演算法,00年b題的神經網路分類演算法，01年b題這種難題也可以使用神經網路，還有美國競賽89年a題也和 bp 演算法有關係，當時是86年剛提出bp演算法，89年就考了，說明賽題可能是當今前沿科技的抽象體現。 03 年 b 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前演算法最佳的是遺傳演算法。

另，本人對人工智慧非常感興趣，遺傳演算法已在本blog內有所闡述，敬請參見。

經典演算法研究系列：七、深入淺出遺傳演算法，透析ga本質

其它倆大演算法，模擬退火法，與神經網路，也定會在本blog內日後的博文更新中，詳細闡述。

網格演算法和窮舉法一樣，只是網格法是連續問題的窮舉。

比如要求在 n 個變數情況下的最優化問題，那麼對這些變數可取的空間進行採點，

比如在 [ a; b ] 區間內取 m +1 個點，就是 a; a +( b ? a ) =m; a +2 ￠ ( b ? a ) =m ; …；b

那麼這樣迴圈就需要進行 ( m + 1) n 次運算，所以計算量很大。

在數學建模競賽中：比如 97 年 a 題、 99 年 b 題都可以用網格法搜尋，這種方法最好在運算速度較快的計算機中進行，還有要用高階語言來做，最好不要用 matlab 做網格，否則會算很久。窮舉法大家都熟悉，自不用多說了。

大部分物理問題的程式設計解決，都和這種方法有一定的聯絡。物理問題是反映我們生活在乙個連續的世界中，計算機只能處理離散的量，所以需要對連續量進行離散處理。

這種方法應用很廣，而且和上面的很多演算法有關。

事實上，網格演算法、蒙特卡羅演算法、模擬退火都用了這個思想。

數值分析（numerical analysis），是數學的乙個分支，主要研究連續數學（區別於離散數學）問題的演算法。

如果在比賽中採用高階語言進行程式設計的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函式積分等演算法就需要額外編寫庫函式進行呼叫。

這類演算法是針對高階語言而專門設的，如果你用的是 matlab 、 mathematica ，大可不必準備，因為像數值分析中有很多函式一般的數學軟體是具備的。

在數學建模競賽中：比如01 年 a 題中需要你會讀 bmp 圖象、美國賽 98 年 a 題需要你知道三維插值計算， 03 年 b 題要求更高，不但需要程式設計計算還要進行處理，而數模**中也有很多需要展示，因此圖象處理就是關鍵。做好這類問題，重要的是把matlab 學好，特別是圖象處理的部分。

本人對演算法，尤其感興趣，且日漸愈濃，

日後，更多的、好的、經典實用演算法將會在本blog內有所詳細而細緻入微的闡述與深入研究。

完。

數學建模十大經典演算法漫談

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