單調佇列 優先佇列

「如果乙個人比你年輕還比你強，那你就要被踢出去了……」——單調佇列

「來來來，神犇巨佬、金牌\(au\)爺、\(aker\)站在最上面，蒟蒻都靠下站！！！」——優先佇列

顧名思義，所謂單調佇列，那麼其中的元素從隊頭到隊尾一定要具有單調性（單調公升、單調降等）

它被廣泛地用於「滑動視窗」這一類\(rmq\)問題，其功能是\(o(n)\)維護整個序列中長度為\(k\)的區間最大值或最小值

給定乙個長度為\(n\)的序列\(a\)和乙個視窗長度\(k\)，視窗初始覆蓋了\(1\rightarrow k\)這些元素

之後視窗每次向右移乙個單位，即從覆蓋\(1\rightarrow k\)變成覆蓋\(2\rightarrow k+1\)

要求求出每次移動（包括初始時）視窗所覆蓋的元素中的最大值（如圖，花括號內即為被視窗覆蓋的元素）

資料範圍：\(1\leq k\leq n\leq 10^6,a_i\in[-2^,2^)\)

「越接近暴力的資料結構，能維護的東西就越多」——真理

線段樹和樹狀陣列維護不了眾數，但分塊可以。你再看暴力，它什麼都能維護……

很簡單，每次從視窗最左端掃到最右端，然後取最大值就\(ok\)了

顯然在這種資料強度下暴力是過不了的，**就不給了

思考暴力為什麼慢了：因為視窗每次才移動\(1\)個單位，但是暴力演算法每次都重複統計了\(k-2\)個元素

那我們把中間那一大堆數的最大值記錄下來，每次進來乙個元素，出去乙個元素，統計一下最值，這不就快了嗎？

但是，不幸的是，如果出去的那個元素正好是最值，那就得重新統計了

考慮維護乙個單調不公升佇列，每次新元素進來之前，從這個佇列的最小值向最大值依次比較

如果這個佇列中的乙個數\(a\)沒有新來的那個元素\(b\)大，那麼把\(a\)踢出序列

因為\(a\)一定在新來的數之前出現，它的值沒有\(b\)大，所以在之後的統計中\(a\)永遠也不可能成為最大值，就沒必要記錄\(a\)了

處理完新元素，現在看看舊元素怎麼處理：

乙個數\(a\)如果不在視窗裡，那麼需要把它踢出這個佇列，但是如果我們每次移動都要找到這個\(a\)再踢出，那麼複雜度又變成了\(o(nk)\)，顯然不行

發現新元素不受舊元素的影響，每次一定會進入到佇列裡，不會因為舊元素而把新元素卡掉，而且我們只是查詢最大值，所以沒有必要嚴格維護序列裡每個值都在視窗裡，只要保證最大值出自視窗裡即可

因為這個佇列單調不公升，所以隊頭一定是我們要查詢的最大值，那麼我們可以對隊頭掃瞄，如果這個隊頭在視窗之外，把這個隊頭踢出去，新的隊頭是原來的第二個元素

重複上述操作，直到隊頭在視窗裡即可，因為序列單調不公升，所以隊頭一定是視窗內的最大值

以上就是單調佇列演算法的全部內容

複雜度分析

有些剛學的同學，看到迴圈\(n\)重巢狀，馬上來一句：這個演算法的複雜度是\(o(n^n)\) 的，這是不對的！！！

比如剛才我們的這個演算法，看似每次視窗移動時都要對整個單調佇列進行掃瞄，但是，從總體來看，每個元素只會入隊一次，出隊一次，所以複雜度是\(o(n)\)的

核心\(code\)

struct node

}q[1e6+10];
int main()
}bool operator < (const node a,const node b)
這樣，系統就會認為小的更大，所以小的就會跑到堆頂去
但是，如你想要\(int\)型別的小根堆，千萬不要過載運算子，這樣普通的兩個\(int\)數就不能正常比較了（系統會認為小的更大）
常用操作命令
//std priority_queue 操作命令
q.push();//插入元素，複雜度o(logn)
q.pop();//彈出堆頂，複雜度o(logn)
q.size();//返回堆中元素個數，複雜度o(1)
q.top();//返回堆頂元素，複雜度o(1)

但是這能難倒人類智慧型嗎？顯然不能，這裡有乙個玄學的延遲刪除法，可以滿足需求

我們可以維護另乙個優先佇列（刪除堆），每次要刪除乙個數（假設為\(x\)）

當需要刪除\(x\)的時候，我們並不去真正的堆裡面刪除\(x\)，而是把\(x\)加入刪除堆

訪問維護最值的堆時，看看堆頂是不是和刪除堆堆頂一樣，如果一樣，說明這個數已經被刪掉了，在原堆和刪除堆中同時\(pop\)掉

這個方法為什麼對呢？萬一原堆的堆頂\(x\)已經被刪了，而刪除堆的堆頂不是\(x\)，導致找到了錯的最值，怎麼辦呢？

其實這種情況不可能出現。假設我們維護了乙個大根堆，如果刪除堆的堆頂不是\(x\)，那必然是乙個比\(x\)大的數\(y\)

如果\(y\)還沒有被刪除，那麼比\(y\)小的\(x\)一定還不是堆頂，幾次彈出後，堆頂是\(y\)，發現刪除堆堆頂同樣是\(y\)，\(y\)從原堆和刪除堆中刪除

換句話說，當原堆的堆頂是\(x\)時，刪除堆堆頂和原堆中還需要刪除的數一定\(\leq x\)，所以不會找到錯誤的最值

單調佇列 優先佇列

dequeue int que 建立雙向佇列 que.push front 在佇列前面塞乙個元素 que.push back 在佇列後面塞乙個元素 que.pop front 刪除佇列第乙個元素 que.pop back 刪除佇列的最後乙個元素 que.clear 清空佇列 que.empty 判斷...

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