設某統計總體的分布包含未知引數\(\theta_1,...,\theta_k\)，\(x_1,...,x_n\)是從該總體中抽出的樣本，要估計\(g(\theta_1,...,\theta_k)\)。g為一已知函式，設\(\hat(x_1,...,x_n)\)是乙個估計量，若對任何可能的\((\theta_1,...,\theta_k)\)都有：
\[e_[\hat(x_1,...,x_n)]=g(\theta_1,...,\theta_k)
\]則稱\(\hat\)是\(g(\theta_1,...,\theta_k)\)的乙個無偏估計量。
樣本方差：\(s^2=\frac^n(x_i-\overline)^2}\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計：\[\begin
\sum_^n(x_i-\overline)^2=&\sum_^n[(x_i-a)-(\overline-a)]^2\\
=&\sum_^n(x_i-a)^2-2(\overline-a)\sum_^n(x_i-a)+n(\overline-a)^2\\
\because&\left(\sum_^n(x_i-a)=n(\overline-a) \right)\\
=&\sum_^n(x_i-a)^2-n(\overline-a)^2\\
=&\sum_^n(x_i-e(x_i))^2-n(\overline-e(\overline))^2\\
=&var(x_i)-var(\overline)\\
=&\sigma^2-var(\frac^nx_i})\\
=&\sigma^2-\sum_^n\frac\\
=&\sigma^2-\frac
\end
\]\[\begin
e(s^2)=&\frace\left(\sum_^n(x_i-\overline)^2\right)\\
=&\frac\left(n\sigma^2-\sigma^2\right)\\
=&\sigma^2
\end
\]即證明了，\(s^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計。
這裡分母為\((n-1)\)是因為\(\overline\)未知，而估計均值時用去了乙個「自由度」。因此，自由度為「\(n-1\)」.
無偏估計不具有不變性，除非\(g(\theta)\)是\(\theta\)的線性函式。（jackknife法-quenouille,1949）
設\(t(x)\)是基於樣本\(x=(x_1,\dots,x_n)\)的關於\(g(\theta)\)的估計量，且滿足\(e_\theta t(x)=g(\theta)+o(\frac1n)\),如以\(x_\)表示從樣本中刪去\(x_i\)後的向量，則\(t(x)\)的刀切統計量定義為：
\[t_j(x)=nt(x)-\frac\sum_^nt(x_)
\]可以證明刀切統計量具有以下性質：
\[e_t_j(x)=g(\theta)+o(\frac1)
\]乙個引數往往不止有乙個無偏估計，想要從眾多無偏估計中尋找最優的涉及到兩個問題：
\[m_}(\theta)=e_[\hat(x_1,...,x_n)-\theta]^2
\]上式稱為估計量的均方誤差，也可寫作：
\[m_}(\theta)=e[\hat(x_1,...,x_n)-\theta]^2=var_(\hat)+[e_(\hat)-\theta]^2
\]若\(\hat\)是\(\theta\)的無偏估計，則第二項為0.
若侷限於無偏估計的範圍，且採用均方誤差的準則，則兩個無偏估計的比較歸結於尋找方差小者為優。則可以設若\(\hat\)是\(g( \theta)\)的無偏估計，且他的方差對\(g(\theta )\)的任何乙個無偏估計\(\hat\)都有：
\[var_(\hat)\leq var_(\hat_1)
\]對\(\theta\)的任何可能取值都成立，則稱\(\hat\)為\(g(\theta)\)的乙個最小方差無偏估計(minimum variance unbiased, mvu)。
首先研究\(g(\theta)\)的一切無偏估計中，方差最小能達到多少，如果求出了乙個方差的下界，則如果某個估計\(\hat\)的方差達到了這個下界，那他必定就是mvu估計。設總體的概率密度函式\(f(x,\theta)\)只包含了乙個引數，\(x_1,x_2,...,x_n\)為從該總體中抽出的樣本，要估計\(g(\theta)\)，記：
\[i(\theta)=\int\left((\frac)^2/f(x,\theta)\right)dx
\]cramer-rao inequality.
在一定條件下，對\(g(\theta)\)的任意無偏估計\(\hat=\hat(x_1,...,x_n)\),有：
\[var_(\hat)\geq\frac
\]記:
\[s=s(x_1,...,x_n,\theta)=\sum_^n\frac}=\sum_^n\frac/f(x_i,\theta)
\]因為\(f(x,\theta)\)為密度函式，則\(\int f(x,\theta)dx=1\),對兩邊同時求導，則：
\[e_\left[\frac/f(x_i,\theta)\right]=\int\left[\frac/f(x,\theta)\right]f(x,\theta)dx=0
\]於是，由\(x_1,...,x_n\)的獨立性，有：
\[\begin
var_(s)=&\sum_^nvar_\left(\frac/f(x_i,\theta)\right)\\
=&\sum_^ne_\left[\frac/f(x_i,\theta)\right]^2\\
=&n\int\left[\frac/f(x,\theta)\right]^2f(x,\theta)dx\\
=&ni(\theta)
\end
\]又由 cauchy-schwarz inequality ：
\[[cov_(\hat,s)]^2\leq var_(\hat)var_(s)=ni(\theta)var_(\hat)
\]因為：\(e_(s)=0\):
\[cov_(\hat,s)=e_(\hats)\\=\int...\int\hat(x_1,...,x_n)\sum_^n\left[\frac/f(x,\theta)\right]\prod_^nf(x_i,\theta)dx_1...dx_n\\
=\frac
\]則有：
\[cov_(\hat,s)=\frac\part\int...\int\hat(x_1,...,x_n)f(x_1,\theta)...f(x_n,\theta)dx_1...dx_n=g'(\theta)
\]這個不等式給出了\(g(\theta)\)的無偏估計的方差的乙個下界。
保持Oracle資料庫的優良效能
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如何保持Oracle資料庫的優良效能
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