假如我們在zf集合論裡加入這麼一條公理：
概括公理:設對於每乙個物件$x$,我們都有乙個依賴於$x$的性質$p(x)$,則存在乙個集合$\\}$.使得$$y\in\\}\leftrightarrow p(y)\mbox$$.
這看上去是一條很好的公理,在高中教科書中事實上也是這麼表述乙個集合的.如果這條公理加入不會導致矛盾,那麼集合論的公理體系會大大簡化,具體會怎麼簡化見下面.
1.該公理等價於命題
存在乙個由一切物件組成的集合.證明：$\rightarrow $根據概括公理,存在集合$\$.
$\leftarrow$已知$\$存在，結合分離公理,可知集合$\$存在.
而且,易得,利用概括公理能推出zf公理裡的分離公理和代替公理(怎麼推?)可見，如果引入概括公理真的沒有矛盾的話，那簡直太好了.可惜天底下沒有這麼好的事情,概括公理能引出乙個很大的矛盾,叫羅素悖論:2.利用概括公理可以證明zf集合論裡的空集存在公理:我們讓$p(x)$是乙個假命題,即可得到乙個空集.
羅素悖論說,根據概括公理，存在這麼這麼乙個集合$a$，$a$以所有不屬於自己的集合為元素.比如,$\\}$不屬於自己,因此$\\}$屬於集合$a$.然後,羅素問道:集合a屬於自己嗎?
我們知道,根據zf集合論裡的公理1 ,可知只有兩種情況,要麼a屬於自己,要麼a不屬於自己.易得兩種情形都導致矛盾(為什麼?)可見,引入概括公理是不合適的.因此概括公理可以被廢除.
然而僅僅是廢除概括公理還是不夠的.因為廢除了概括公理,羅素悖論依然可以存在,只是「存在的根據消失了」(之所以說「存在的根據消失了」是因為一旦廢除概
括公理,所有不屬於自己的集合便不一定能形成乙個集合).為此,我們要用乙個公理徹底否定羅素悖論.這個公理就是正則公理:
若a是非空集合，則a中必含有元素，該元素或者不是集合，若是集合，則與a不相交.我們來看看,如果缺失了正則公理,會發生什麼情況:我們就能構造乙個非空集合 $a$ ,$a$ 的所有元素都是集合,且屬於a的集合都與$a$相交.則必有
$$\cdots a_5\in a_4\in a_3\in a_2\in a_1\in a$$
其中$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,\cdots$都是$a$的元素,且它們都是集合.這樣,我們就發現集合$a$是乙個「沒有底」的砂鍋,這簡直是怪物,而不是我們所喜歡的集合.由此可見正則公理的重要性.
有了正則公理後,羅素悖論就徹底不合法了,因為根據正則公理容易推出每個集合都不屬於自身(怎麼推?)，因此羅素悖論裡問$a$是不是屬於自身就沒什麼意思了.正則公理也能否定下面這樣的情況的合法性：
集合$a$,$b$,$a\in b$,$b\in a$.這種情況,從直覺上看,也是一種「沒有底的砂鍋」，下面我們來看看正則公理是怎麼排除這種情況的.構造乙個集合$\$(根據的是axiom of pair),我們知道,$a$和$\$相交,$b$和$\$也相交.這與正則公理矛盾.
正則公理的乙個應用(感謝哆嗒網網主雷霆):
所有單元素集(singleton set)形成的類不是乙個集合.這是因為，假如所有單元素集形成乙個集合$a$.那麼根據「集合能作為乙個元素」這條公理，$\$也是乙個單元素集.則$\\in a$.這與正則公理矛盾.
羅素悖論和正則公理
假如我們在zf集合論裡加入這麼一條公理 概括公理 設對於每乙個物件 x 我們都有乙個依賴於 x 的性質 p x 則存在乙個集合 使得 y in leftrightarrow p y mbox 這看上去是一條很好的公理,在高中教科書中事實上也是這麼表述乙個集合的.如果這條公理加入不會導致矛盾,那麼集合...
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