$\mathbf^n$中的緊集是閉有界集.證明：先證明
$\mathbf$中的緊集是閉有界集.設$s$是$\mathbf$中的緊集.先證$r\backslash s$是開集.
證明採用反證法.假設$r\backslash s$不是開集，則$\exists p\in r\backslash s$,使得$p$的任意小鄰域內總有屬於$s$的點.
設$\varepsilon$是乙個正實數，構造可數無限開集集合$t$,$t$是由下面的開集組成.
$$(-\infty,p-\frac)\bigcup (p+\frac,+\infty),(-\infty,p-\frac)\bigcup (p+\frac,+\infty),\cdots,(-\infty,p-\frac)\bigcup (p+\frac,+\infty),\cdots$$
易得$t$覆蓋$s$,但是$t$的任何有限子集都不覆蓋$s$.這與$s$的緊緻性矛盾.可見$r-s$是開集.所以$s$是閉集.
下證$s$是有界的.
證明仍然採用反證法.假設$s$是無界的.不妨令$s$無上界.我們構造乙個無限開區間集合$k$,$k$是由下面的開區間組成
$$(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),\cdots,(2n,2n+2),(2n+1,2n+3),\cdots$$
顯然，$k\bigcup (-\infty,1)$是$s$的乙個開覆蓋.然而這個開覆蓋不可能有有限子覆蓋，否則$s$就有上界了.$s$的開覆蓋沒有有限子覆蓋，這與$s$的緊緻性矛盾.假設不成立.所以$s$是有上界的.同理可證$s$有下界.因此$s$是有界的.$\box$
證好了$\mathbf$中的情形，下面來證$\mathbf^n$中的情形.
建構函式$f_i:\mathbf^n\to \mathbf$.$f_i$的規則是$\forall a=(a_1,\cdots,a_n)\in \mathbf^n$,$f_i(a)=a_i$.設$s$是$\mathbf^n$中的緊集，則易得$f_i(s)$是$\mathbf$中的緊集.而$\mathbf$中的緊集是閉有界集.而且易得若$s_i(\forall 1\leq i\leq n)\in \mathbf$是$\mathbf$中的閉有界集,則$s_1\times\cdots\times s_n$是$\mathbf^n$中的閉有界集.
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