有 \(n\) 個物品，編號分別為 \(1\ldots n\)。物品 \(i\) 的重量為 \(w_i\)，價值為 \(v_i\)。
給出每個物品依賴於哪個物品。我們用 \(d_i = j\)\((i>j>0)\) 表示：如果要選取物品 \(i\)，就必須先選取物品 \(j\)。另外，我們用 \(d_i = 0\)
\((i>0)\) 表示：該物品不依賴於任何物品。
揹包最多能裝載的重量為 \(w\)，請問揹包中最多能裝入多大價值的物品。\(o(nw^2)\) 的做法不講了。\(o(nw)\) 的做法是這樣的：先求出一棵樹的後序遍歷序列 \(ed\)（下文簡稱後序序列）。比如左下圖這棵樹，我在右下圖中標出了它每個結點的後序。
如果我們開一張新的圖，然後按照後序序列將結點依次加入圖中，我們會發現，每次加入的結點在當前情況下都是根結點。下圖展示了放入 4, 7, 8, 9 號結點時，新圖的情況。
因此，設 \(\mathrm(i,j)\) 表示將後序序列的前 \(i\) 個結點放入新圖，揹包容量為 \(j\) 時，所能取得的最大價值。設 \(\mathrm_i\) 以 \(i\) 為根的子樹的大小。
綜上可得 \(\mathrm(i,j)=\max(\mathrm(i-1,j-w_i)+v_i,\;\mathrm(i-\mathrm_i,j))\) 。
cf815c，cf581f，cf960e，cf633f，cf1065f，cf538e，cf592d，cf461b，cf1088e，cf533b
[sdoi2017] 蘋果樹
（naipc2018）i - red black tree
vijos 1676, 1723
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