tarjan演算法大意

tarjan演算法 （以發現者robert tarjan命名）是乙個在圖中尋找強連通分量的演算法。演算法的基本思想為：任選一結點開始進行深度優先搜尋dfs（若深度優先搜尋結束後仍有未訪問的結點，則再從中任選一點再次進行）。搜尋過程中已訪問的結點不再訪問。搜尋樹的若干子樹構成了圖的強連通分量。

應用到咱們要解決的lca問題上，則是：對於新搜尋到的乙個結點u，先建立由u構成的集合，再對u的每顆子樹進行搜尋，每搜尋完一棵子樹，這時候子樹中所有的結點的最近公共祖先就是u了。

引用此文的乙個例子，如下圖（不同顏色的結點相當於不同的集合）：

假設遍歷完10的孩子,要處理關於10的請求了，取根節點到當前正在遍歷的節點的路徑為關鍵路徑,即1-3-8-10，集合的祖先便是關鍵路徑上距離集合最近的點。

比如：得出的結論便是：lca(u,v)便是根至u的路徑上到節點v最近的點。

2.2、tarjan演算法如何而來

但關鍵是 tarjan演算法是怎麼想出來的呢？再給定下圖，你是否能看出來：分別從結點1的左右子樹當中，任取乙個結點，設為u、v，這兩個任意結點u、v的最近公共祖先都為1。

於此，我們可以得知：若兩個結點u、v分別分布於某節點t 的左右子樹，那麼此節點 t即為u和v的最近公共祖先。更進一步，考慮到乙個節點自己就是lca的情況，得知：

這個定理就是tarjan演算法的基礎。

一如上文1.1節我們得到的結論：「如果當前結點t 滿足 u 而對於本節開頭我們所說的「如果要求多個任意兩個結點的最近公共祖先，則相當於是批量查詢」，即在很多組的詢問的情況下，或許可以先確定乙個lca。例如是根節點1，然後再去檢查所有詢問，看是否滿足剛才的定理，不滿足就忽視，滿足就賦值，全部弄完，再去假設2號節點是lca，再去訪問一遍。

可此方法需要判斷乙個結點是在左子樹、還是右子樹，或是都不在，都只能遍歷一棵樹，而多次遍歷的代價實在是太大了，所以我們需要找到更好的方法。這就引出了下面要闡述的tarjan演算法，即每個結點只遍歷一次，怎麼做到的呢，請看下文講解。

2.3、tarjan演算法流程

tarjan演算法流程為：

procedure dfs（u）；

begin

設定u號節點的祖先為u

若u的左子樹不為空，dfs（u - 左子樹）；

若u的右子樹不為空，dfs（u - 右子樹）；

訪問每一條與u相關的詢問u、v

-若v已經被訪問過，則輸出v當前的祖先t（t即u,v的lca）

標記u為已經訪問，將所有u的孩子包括u本身的祖先改為u的父親

end普通的dfs 不能直接解決lca問題，故tarjan演算法的原理是dfs + 並查集，它每次把兩個結點對的最近公共祖先的查詢儲存起來，然後dfs 更新一次。如此，利用並查集優越的時空複雜度，此演算法的時間複雜度可以縮小至o(n＋q)，其中，n為資料規模，q為詢問個數。

2.4、tarjan演算法的應用舉例

引用此文中的乙個例子。

i) 訪問1的左子樹

step 1：從根結點1開始，開始訪問結點1、2、3

節點祖先

step 2：2的左子樹結點3訪問完畢

節點祖先

step 3：開始訪問2的右子樹中的結點4、5、6

節點祖先

step 4：4的左子樹中的結點5訪問完畢

節點祖先

step 5：開始訪問4的右子樹的結點6

節點祖先

step 6：結點4的左、右子樹均訪問完畢，故4、5、6中任意兩個結點的lca均為4

節點祖先

step 7：2的左子樹、右子樹均訪問完畢，故2、3、4、5、6任意兩個結點的lca均為2

節點祖先

如上所述：進行到此step7，當訪問完結點2的左子樹（3），和右子樹（4、5、6）後，結點2、3、4、5、6這5個結點中，任意兩個結點的最近公共祖先均為2。

ii) 訪問1的右子樹

step 8：1的左子樹訪問完畢，開始訪問1的右子樹

節點祖先

step 9：開始訪問1的右子樹中的結點7、8

節點祖先

節點祖先

節點祖先

節點祖先

step 13：1的左子樹、右子樹均訪問完畢

節點祖先

tarjan演算法詳解

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