前乙個章節我們在理解指數函式；接下來我們的目標是自然對數。
數學中給定的自然對數的定義，其中有著「自然」的一部分：它被定義為ex 的反函式。雖然ex 本身就夠奇怪了。
但是還有一種新鮮的，更加直觀的解釋：自然對數告訴你增長到一定值需要花費多少時間。
假設你投資了干貝熊軟糖（誰沒有啊？），其中利潤率為100%，連續增長。如果你想獲得十倍的收入，假設它是按照複利計算的，那麼你只需要ln（10）也就是2.302年就可以達到這一目標。不明白為什麼這麼多年就可以得到10倍的回報？再讀一讀前一章吧。
e跟自然對數是雙胞胎：
這個結果不錯吧？當數學家們用冗長的，技巧化的解釋讓你困惑的時候，還是讓我們繼續深入到這個直觀化的解釋中去吧。數字e是關於連續增長的。正如我們之前所了解到的，ex 讓我們把時間與增長率結合起來：連續復合增長的情況下，100%的增長率經過三年跟300%的增長率經過一年的效果一樣。
我們可以使用任何時間與增長率的組合（50%的增長率增長4年），而且可以轉化為更舒服的100%的增長率（100%的增長率增長兩年就可以了）。把增長率轉化為100%後，我們只需要考慮時間就可以了：
ex ＝e增長率‧時間 ＝e1‧時間 ＝e時間直觀化的看的話，ex 就是：
ex 就是乙個比例係數，它告訴我們經過x單位時間後東西可以增長到多少。
自然對數正好與e相反，一種非常好的形式。說到非常好，ln就是拉丁文logarithmus naturali的縮寫。
現在讓我們來看看相反意味著什麼？
舉例如下： 通過我？自然對數告訴我們增長到一定值需要花費多長時間。你之前學過對數，它們確實很奇怪。它們怎麼會把乘法變為加法？除法變為減法呢？讓我來仔細看看。
ln(1)等於多少呢？直觀看來，這個問題就是：我花多長時間能增長到1倍大小呢？
0。你現在已經是1倍大小了！從1增長到1並不需要花任何時間。
ln(1)=0ok，如果是乙個分數呢？如何增長到現在的1/2呢？假設你的連續增長率是100%，我們知道ln(2)就是增長兩倍所需要花費的時間。如果我們把這個過程反過來（比如說取負時間），我們就得到了一半的值。
ln(0.5)=-ln(2)=-0.693明白了吧？如果我們往回看（負時間）0.693秒，我們就得到了現在一半的值。一般來說，你可以把分數翻轉然後取負即可：ln(1/3)=-ln(3)=-1.09。這就是說如果時間往回1.09個單位，我們就得到了現在值的1/3。
ok，如果是乙個負數的自然對數呢？細菌從1增長到-3需要花費多長時間呢？
這是不可能的！你能有「負數」個細菌嗎，不能吧？你最多（最少）也就是有0個細菌，但是你沒辦法擁有負數個細菌吧。負數個細菌沒有任何意義
ln(負數)＝無定義無定義意味著「沒有乙個時間供你等待」其增長到負數（在尤拉公式中我們還將討論這一問題）。
花多長時間可以增長到現有值的四倍呢？沒問題，我們只需要計算ln(4)就可以了。但是這太簡單了，讓我們增加點難度。
我們可以把4倍看作是翻倍一次（花費ln(2)的時間一次），然後再翻倍一次（再花費ln(2)的時間一次）：
增長到四倍所需要的時間＝ln(4)=兩次翻倍所用的時間＝ln（2）+ln（2）有意思吧。任何增長值，比如說20，可以看作是翻倍一次然後再十倍一次，也可以看作是4倍一次再五倍一次。或者是3倍一次，然後再6.66666倍一次。看到其中的規律了嗎？
ln(a‧b)＝ln（a）+ln（b）a乘以b的對數＝log(a)+log(b)。當你把它們當作增長需要的時間後就很容易想通了。
如果我們想增長到30倍，我們可以直接等ln（30）長的時間，也可以先等ln（3）長的時間讓它增長到3倍，然後再等ln（10），再讓它增長十倍。最終效果是一樣的，所以最終花費的時間也是一樣的（事實確實如此）。
那麼除法呢？ln（5/3）就是說：增長到5倍，然後只取其中的三分之一需要花費多長時間呢？
好吧，增長到5倍需要花費的時間是ln(5)。增長1/3花費的時間就是-ln(3)。那麼結果就是：
ln（5/3）=ln(5)-ln(3)這就是說：增長5倍所用的時間，然後時間再往回退，知道達到1/3的增長，最後你還有5/3的增長。更一般化的表述就是：
ln(a/b)=ln(a)-ln(b)我希望現在你能理解奇怪的對數運算：乘法就是把時間相加，除法就是把時間減去。不要去背誦規則，而是要理解它們。
「是的，」你可以說，「這些關於對數的東西對100%的增長率適用，對50%的增長率呢？」
完全沒有問題。我們在ln（）中使用的「時間」其實是時間與增長率的組合，x來自於我們的ex 方程。我們假設為100%只是為了簡單，但是其實我們可以使用其他數字。
假設我們希望達到30倍的增長：帶入方程中就是ln(30)，結果是3.4。這就是說：
ex ＝增長直觀化的看這個方程是以100%的增長來考慮的。e3.4 ＝30
但是我們也可以這樣看這個方程：
ex ＝e增長率‧時間我們可以修改「時間」與「增長率」，就以時間×增長率＝3.4為例，我們可以有： 很酷吧？自然對數可以適用於任何增長率與時間，只要它們的乘積相同。你可以隨意調整這些變數。e100%‧3.4年 ＝30
72法則（是一種快捷的心演算法來幫助你計算花多少時間可以讓你的錢翻倍。我們將把它衍生一下，甚至讓它更好，我們以一種更直觀化的角度來理解它。
在100%的增長率下按年進行復合增長，需要花多長時間可以讓你的錢翻倍呢？
哦，之前我們的討論一直是侷限在連續的增長，現在你要讓我計算年利？這不會讓我們的公式變得更麻煩嗎？對，確實會這樣，但是但是在一些利率下，比如 說5%，6%甚至是15%，年利與連續利息其實並沒有太大不同。所以乙個大概的公式就可以了，在一種粗略的情況下我們把它們當作完整的連續增長就可以了。
現在問題就很簡單了：在100%的增長率時我們需要花多長時間才可以翻倍？ln(2)=0.693。大概就是0.693個單位時間（在這裡是一年）吧就可以讓你的錢翻倍了。
ok，如果我們的增長率不是100%而是5%或10%呢？
很簡單。只要時間×增長率＝0.693，我們的錢就會翻倍：
那麼，如果我們只有10%的增長率，只需要計算0.693/10%也就是6.93年就可以讓我們的錢翻倍。為了做一些簡化，讓我們乘以100，這樣就可以避免0.1而可以討論10了
翻倍所用時間＝69.3/增長率，這裡假設增長率用百分數表示那麼5%的增長率下，翻倍所用的時間就是69.3/5也就是13.86年了。然而69.3並不容易進行除法。讓我們就選擇乙個與它很接近的數來代替，比如說可以被2，3，4，6，8等整除的72吧。
翻倍所用的時間＝72/增長率這就是72法則！很簡單吧。
如果你想知道花多少時間能讓你增長到3倍，你只需用ln(3)約等於109.8，這樣你就可以得到：
增長三倍所用的時間＝110/增長率這又是乙個很有用的法則。72法則在利率計算，人口計算，細菌培養以及其他涉及到指數增長的方面都有很廣泛的用處。
我希望自然對數能有更多意義——它告訴指數增長增長到任一確定的值所需要的時間。我認為正是因為它是指數增長的乙個通用數值，所以它才被稱為「自然」，那麼ln就可以幫我們找出需要多少來增長的乙個通用函式了。
當你看到ln(x)時，只要想到「增長到x所要用的時間」就好了。
小謎題：ln(e)等於多少？
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