前N個自然數的隨機置換

來自：【資料結構與演算法分析——c語言描述】練習2.7

問題描述：假設需要生成前n個自然數的乙個隨機置換。例如，和就是合法的置換，但卻不是，因為數1出現了兩次而數 3 缺沒有。這個程式常常用於模擬一些演算法。我們假設存在乙個隨機數生成器 randint(i, j) ，它以相同的概率生成 i 和 j 之間的乙個整數。

下面是三個演算法：

1.如下填入 a[0] 到 a[n-1] 的陣列 a；為了填入 a[i] ，生成隨機數直到它不同於已經生成的 a[0], a[1], ... , a[i-1] 時，再將其填入 a[i] 。

2.同演算法1，但是要儲存乙個附加的陣列，稱之為 used（用過的）陣列。當乙個隨機數 ran 最初被放入陣列a的時候，置used[ran]=1。這就是說，當用乙個隨機數填入 a[i] 時，可以用一步來測試是否該隨機數已經被使用，而不是像第乙個演算法那樣（可能）進行 i 步測試。

3.填寫該陣列使得 a[i] = i + 1。然後

for(i = 1; i < n; i++) 
swap(&a[i], &a[randint(0, i)]);

題目中有說「我們假設存在乙個隨機數randint(i, j)」，既然如此，暫時不必考慮其內部實現以及記憶體限制，只根據這個介面考慮演算法即可。

演算法1

i = 0;
while (i < n)
if (k == i)
}

以迴圈次數作為時間度量。迴圈從i=0到i=n-1寫出n個不重複隨機數，因為生成第i個不重複隨機數的概率是(n-i)/n，所以理論上經過n/(n-i)次生成，得到不重複隨機數的概率為1。所以總耗時為

這裡做了分子的放大，以及這個調和和公式：

該演算法的時間複雜度即為o(n2logn)。

演算法2

i = 0;
while (i < n)
}

演算法 2 比演算法 1 少了內層的 for 迴圈，所以時間複雜度降了一階，即為 o(nlogn)。

演算法3

for (i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
for (i = 0; i < n; i++)
swap(&a[i], &a[randint(0, i)]);

時間複雜度顯然是線性級的，o(n)。