2023年全國卷卷文科數學解析

從乙個數學老師的角度來解析2018高考，結合學生的實際學情，給出學習建議。

【2023年全國卷ⅲ卷文科數學第7題】下列函式中，其影象與函式\(y=lnx\)的影象關於直線\(x=1\)對稱的是【\(\hspace\)】

a.\(y=ln(1-x)\hspace\) b. \(y=ln(2-x)\hspace\) c. \(y=ln(1+x)\hspace\) d.\(y=ln(2+x)\hspace\)

解析：【法1】：影象法，先做出函式\(y=lnx\)關於\(y\)軸對稱的函式\(y=ln(-x)\)的影象，再將其向右平移兩個單位即可，得到\(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x)\)，故選\(b\).

【法2】：待求解的函式影象上任取一點\(p_0(x_0，y_0)\)，則其關於直線\(x=1\)的對稱點座標為\(p(2-x_0，y_0)\)，則其必然滿足\(y=lnx\)，得到\(y_0=ln(2-x_0)\)，即\(y=ln(2-x)\)，故選\(b\)。

【法3】：由於點\((1，0)\)在給定函式影象上，也在對稱軸上，則其必然也在所求函式影象上，代入驗證，故選\(b\)。

【2023年全國卷ⅲ卷文科數學第8題】函式\(y=f(x)=-x^4+x^2+2\)的影象大致為【\(\hspace\)】

【解析】影象缺失，偶函式，\(f(0)=2\)，\(f(1)=2\)，故選d.

【整理理由】：用穿根法做函式\(y=f'(x)\)的影象，\(f'(x)=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)=-2x(\sqrtx+1)(\sqrtx+1)\)

先用手工做出函式\(y=x(\sqrtx+1)(\sqrtx+1)\)的影象，再做出函式\(y=-2x(\sqrtx+1)(\sqrtx+1)\)的影象，由此可以看出

函式\(f(x)\)在\((0，\cfrac})\)上單調遞增，在\((\cfrac}，+\infty)\)上單調遞減。

【2023年全國卷ⅲ卷文科數學第16題】已知函式\(f(x)=ln(\sqrt-x)+1\)，\(f(a)=4\)，則\(f(-a)=\)_________________

【解析】:令函式\(g(x)=ln(\sqrt-x)\) ，則\(g(x)+g(-x)=ln(\sqrt-x)+ln(\sqrt+x)=ln((\sqrt)^2-x^2)=ln1=0\)，故函式\(g(x)\)為奇函式。

同理，\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt-x)+1+ln(\sqrt+x)+1=2\)，即\(f(x)+f(-x)=2\)，

\(f(a)+f(-a)=2\)，\(f(a)=4\)，得到\(f(-a)=-2\)。

【備註】：\(f(x)+f(-x)=2\)，則函式\(f(x)\)關於點\((0，1)\)對稱。

【2023年全國卷ⅲ卷文科數學第21題】已知函式\(f(x)=\cfrac\).

(1)求曲線\(y=f(x)\)在點\((0，-1)\)處的切線方程。

【解析】：\(f'(x)=\cfrac=\cfrac\)

由\(f'(0)=2\)，故由點斜式得到切線方程為\(y-(-1)=2(x-0)\)，即\(2x-y-2=0\)。

(2)證明：當\(a\ge 1\)時，\(f(x)+e\ge 0\)。

證明【證明的難點是放縮】：

當\(a\ge 1\)時，\(f(x)+e\ge (x^2+x-1+e^)\cdot e^\)，由於\(e^>0\)恆成立，故可以考慮甩掉她，

令\(g(x)=x^2+x-1+e^\)，則\(g'(x)=2x+1+e^\)，

【經驗之談：導數的解答題到此，我們可以這樣尋找分界點，當題目中含有\(e^x\)時，可以考慮用\(x=0\)來嘗試分界點，由於\(e^0=1\)；當題目中含有\(lnx\)時，可以考慮用\(x=1\)來嘗試分界點，由於\(ln1=0\)】

我們很容易發現，\(x=-1\)是分界點，故可以這樣寫結果，

當\(x-1\)時，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)單調遞增，

故\(g(x)_=g(-1)=0\)，故有\(g(x)\ge g(-1)=0\)

則\(g(x)\cdot e^\ge g(-1)\cdot e^=0\)，即\(f(x)+e\ge 0\)。

【解後反思】注意不等式放縮。此題的解法同於2018高考一捲文科第21題(2)的解答思路。

【2023年全國卷ⅲ卷文科數學第22題】在平面直角座標系\(xoy\)中，\(\odot o\)的引數方程為\(\left\\\\end\right.(\theta為引數)\)，過點\((0，-\sqrt)\)且傾斜角為\(\alpha\)的直線\(l\)與\(\odot o\)交於\(a，b\)兩點。

(1)求\(\alpha\)的取值範圍；

分析：先設出直線帶斜率\(k\)的方程，再聯立圓方程組成方程組，由於線與圓相交於兩個點，則\(\delta>0\) 或者圓心到直線的距離\(d < r=1\)，都可以求解。不過在設直線方程時需要分類討論；

【解析】當\(\alpha=\cfrac\)時，直線的斜率不存在，直線為\(x=0\)滿足條件。

當\(\alpha=\cfrac\)時，設直線方程為\(y+\sqrt=kx\)，即直線為\(kx-y-\sqrt=0\)，\(\odot o\)的直角座標方程為\(x^2+y^2=1\)，故圓心到直線的距離\(d=\cfrac|}}<1\)，

解得\(k^2>1\)，即\(k>1\)或者\(k

當\(k>1\)時，\(\cfrac

綜上所述，\(\alpha\)的取值範圍為\((\cfrac，\cfrac)\)；

(2)求\(ab\)中點\(p\)的軌跡的引數方程。

分析：看到題目中的\(ab\)中點\(p\)時，你應該想到直線的引數方程中的乙個常識：

設點\(a，b\)對應的引數分別為\(t_a，t_b\)，線段\(ab\)的中點\(p\)對應的引數為\(t_p\)，則有\(\cfrac=t_p\)

【解析】由題目設直線\(l\)的引數方程為\(\left\\\+t\cdot sin\alpha}\end\right.(t為引數，\cfrac

設\(a、b、p\)對應的引數分別為\(t_a、t_b、t_p\)，則有\(t_p=\cfrac\)，

將直線\(l\)的引數方程，代入圓\(o\)的直角座標方程，整理得到\(t^2-2\sqrtsin\alpha+1=0\)，

則由韋達定理有\(t_a+t_b=2\sqrtsin\alpha\)，由中點座標公式得到\(t_p=\sqrtsin\alpha\)，

又由於點\(p\)在直線\(l\)上，故滿足直線的引數方程\(\left\\\+t_p\cdot sin\alpha}\end\right.\)，

代入得到點\(p\)的軌跡的引數方程是\(\left\} sin2\alpha}\\}-\cfrac} cos2\alpha}\end\right.(\alpha為引數，\cfrac

【解後反思】1、注意設直線方程時的分類討論。2、注意直線引數方程中的中點座標公式\(\cfrac=t_p\)。

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