今天我要殺雞（數學題題解），殺雞當然要用牛刀（latex）了。
其實就是好久沒打字了來爽一爽。
已知函式f(
x)=x
−1−a
lnx .
(1)若f(
x)≥0
，求a .
(2)設
m為正整數，且對於任意正整數
n ，∏n
i=1(
1+12
i)m 的最小值.
第一問，一開始用錯誤的方法做對了。
很顯然f(1
)=0，若要求這個函式恆大於
0 ，我把它錯誤的等價為小於
0時減，大於
0 時增，結果恰好做對了。。。
正確方法應該是這樣的： 求導f
′(x)
=1−a
x令f′
(x)<
0 得
0<
x<
a ， 令f
′(x)
>
0 得
x>a
因為定義域是
x>
0 ，所以
x>
a 是顯然合法的；這時需要討論
0 和
a的大小。 若a
≤0，則在定義域內f′
(x)≥
0 恆成立，這時位於x=
1 左側的函式值就小於
0 了，顯然這種情況應該捨去，即
a必定大於
0 。 由於a
>
0，所以當
0<
a<
0 時f(
x)單調遞減，當
x>
a 時f(
x)單調增，即f(
a)是最小值。
它要求恆大於等於
0 ，即f(
x)mi
n=f(
a)≥0
。 到了這裡不要想當然地去解，注意到f(
1)=0
，既然函式上已經存在乙個值等於
0 的點，又要求這個函式恆大於
0，這個函式又是
v 字形，結合以上，顯然就可以知道a=
1。 所以第一問就可以顯然出來a=
1 。
第二問，不會做，看的答案。
一眼看上去，和第一問沒啥關係。。。笨蛋的我就是這麼想的
其實，用上第一問的結論就很容易做了。
看到要證的東西是一些乘積，要讓它小於乙個定值。
之前做過很多題目，讓你證明乙個和式小於某個常數。這種題目大多是構造等比數列，用上求和公式，有時候還需要放縮放縮啥的。
是這樣的，連乘想要轉化成和式，有乙個比較高階的套路，就是取
log ，哇好高階啊。 取了l
og之後變成這個樣子，為了後面方便就取自然對數吧。 ∑i
=1nln
(1+1
2n)做到這裡我就不會了。
答案上是這個樣子： 令x
=(1+
12n)
，則(1)
中的式子變成12
n−ln(
1+12
n)≥0
。 一變形： ln(
1+12
n)≤1
2n就出來了。
後面就不用說了，就是從n=
1 開始寫出一大串式子來，中間用省略號，一直排到
n 個不等式。 將這n
個不等式相加，得到 ∑i
=1nln
(1+1
2n)≤
1−12
n 也就是說對於任意的n∈
n+，都有1−
12n≤
lnm。 即m≥
e ，因為
m 是整數，所以
m應當取
3 。
這一問的答案是mm
in=3
。其實吧，我個人覺得第二問有點牽強，答案中m=
3 確實有理有據，但是答案中並沒有證明
m 更小的時候不行。 當m
=2時，令n=3
，左邊=135
64>
m 。 當m
=1時，令n=
1 ，左邊=3
2>
m 。
這樣就ok了。
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