實際應用問題中的最值

【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】某蓮藕種植塘每年的固定成本是$1$萬元，每年最大規模的種植量是$8$萬斤，每種植一斤藕，成本增加$0.5$元，如果銷售額函式是$f(x)=-\cfracx^3+\cfracax^2+\cfracx$，($x$是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，$a$是常數)，若種植$2$萬斤，利潤是$2.5$萬元，則要使利潤最大，每年需要種植蓮藕【$\quad$】萬斤。

$a.8$ $b.6$ $c.3$ $d.5$

分析：注意理解題目的意思，「每年最大規模的種植量是$8$萬斤」，意思是說定義域為$0，「若種植\(2$萬斤，利潤是$2.5$萬元」，意思是為了讓我們求出$a$值，

由題可知，利潤函式$y=f(x)-1-\cfracx=-\cfracx^3+\cfracax^2-1$，其中\(0，

當$x=2$時，$y=-1+\cfraca-1=2.5$，解得$a=2$，

綜上所述，利潤$y=-\cfracx^3+\cfracx^2-1$，\(0，

$y'=-\cfracx^2+\cfracx=-\cfrac(x^2-6x)=-\cfracx(x-6)$，

則當$x\in (0，6)$時，$y'>0$，函式單調遞增，當$x\in (6，8)$時，$y'<0$，函式單調遞減，

故當$x=6$時，利潤最大，故選$b$。

【求解分段函式的最值，應用問題】某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產$x$千件該產品需要另外投入的生產成本為$g(x)$(單位：萬元)，當年產量不足$80$千件時，$g(x)=\cfracx^2+10x$；當年產量不小於$80$千件時，$g(x)=51x+\cfrac-1450$；已知每件產品的售價為$0.05$萬元。通過市場分析，該工廠生產的產品能全部售完，則該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤的最大值是多少？

分析：本題目的實質是求解分段函式的最大值，但是還有幾個難點：其一單位的統一，其二根據常識列出年利潤的分段函式，其三在每一段上求最大值，最後比較得到函式在整個定義域上的最大值。其中「利潤=銷售量$\times$**-生產成本-固定成本」

解析：由題目得到生產成本為$g(x)=\begin \cfracx^2+10x &x<80 \\ 51x+\cfrac-1450 &x\ge 80\end$.

每千件的**為$1000\times 0.05=50$(萬元)，

每$x$千件的銷售額為$1000\times 0.05x=50x$(萬元)，

設年利潤函式為$y$，

則$y=f(x)=\begin 50x-(\cfracx^2+10x)-250， &x<80 \\ 50x-(51x+\cfrac-1450)-250 &x\ge 80\end$.

接下來在每一段上分別求函式的最大值，

當$x<80$時，$f_1(x)= 50x-(\cfracx^2+10x)-250=-\cfrac(x-60)^2+950$， $x<80$，

故當$x=60 \in (0，80)$時，$[f_1(x)]_=950$(萬元)

當$x\ge 80$時，$f_2(x)= 50x-(51x+\cfrac-1450)-250=1200-(x+\cfrac)\ge 1200-2\times 100=1000$，

故當$x=100 \in (80，+\infty)$時，$[f_2(x)]_=1000(萬元)>[f_1(x)]_=950$(萬元)，

故所獲年利潤的最大值$1000$萬元。

備註：若某一段上的函式為三次多項式函式，可以利用導數求解其最大值；

【二次函式應用問題】某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產$x$千件該產品需要另外投入的生產成本為$g(x)$(單位：萬元)，當年產量不足$80$千件時，$g(x)=\cfracx^2+10x$；已知每件產品的售價為$0.05$萬元。通過市場分析，該工廠生產的產品能全部售完，則該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤的最大值是多少？

解析：由題目得到生產成本為$g(x)=\cfracx^2+10x$($x<80$)，每千件的**為$1000\times 0.05=50(萬元)$，每$x$千件的銷售額為$1000\times 0.05x=50x(萬元)$，設年利潤函式為$y$，

則$y=f(x)=50x-(\cfracx^2+10x)-250$，$x<80$.

當$x<80$時，$f(x)= 50x-(\cfracx^2+10x)-250=-\cfrac(x-60)^2+950$， $x<80$，

故當$x=60 \in (0，80)$時，$f(x)_=950$(萬元)

故所獲年利潤的最大值$950$萬元。

【二次函式應用問題】【函式與方程】某商店每月按出廠價每瓶$3$元購進一種飲料，根據以前的統計資料，若零售價定為每瓶$4$元，每月可銷售$400$瓶；若零售價每降低(公升高)$0.5$元，則可多(少)銷售$40$瓶，在每月的進貨當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為_________元/瓶 .

〔審題分析〕：從題目的問題出發，題目求解「為獲得最大利潤」，我們一般是奔著利潤而去，先建立利潤函式模型，然後求解此函式的最大值，那麼總利潤又應該如何求解呢？利潤=單件利潤$\times$銷售量，如果人們令銷售價為$x$元/瓶，則單件利潤為$(x-3)$元，銷售量的刻畫比較複雜，它是動態變化的量，當$x>4$時，銷售量應該是在$400$的基礎上有所減少，減少的量為$\cfrac\times40$件，當$x<4$時，銷售量應該是在$400$的基礎上有所增加，增加的量為$\cfrac\times40$件，故銷售量的表示式為$(400$

$-$

$\cfrac$

$\times$

$40)$或者$(400$

$+$

$\cfrac$

$\times$

$40)$，兩個式子可以合二為一為$(400$

$+$

$\cfrac$

$\times$

$40)$，故總的利潤應該是$y$

$=$

$(x-3)$

$(400$

$+$

$\cfrac$

$\times$

$40)$，並且定義域為$x\geqslant3$，接下來的任務就是求解這個函式的最大值，故解析如下：

〔解析〕：設銷售價每瓶定為 $x$ 元，利潤為 $y$ 元，

則 $y=(x-3)\cdot\left(400+\cfrac\times 40\right)$

$=$

$80(x-3)(9-x)$

$=$

$-80(x-6)^+720$($x\geqslant 3)$,

所以 $x=6$ 時, $y$ 取得最大值.

故銷售價應該每瓶定為 $6$ 元 .

【構建 $y=x+\cfrac$ 函式模型】在城市舊城改造中，某小區為了公升級居住環境，擬在小區的閒置地中規劃乙個而積為 $200 m^$ 的矩形區域(如圖所示)，按規劃要求：在矩形內的四周安排$ 2m$寬的綠化，綠化造價為$200$元/$m^$，中間區域地面硬化以方便後期放置各類健身器材，硬化造價為 $100$ 元/$m^$，設矩形的長為 $x m$ .

〔審題分析〕：矩形的長為 $x(m)$，面積為 $200^$，則可以得到矩形的寬為 $\cfrac(m)$，四周安排$2m$寬的綠化，則中間區域長 $(x-4)m$，寬 $\left(\cfrac-4\right)m$，由於要求總造價 $y$ (元)關於 $x(m)$ 的函式，故需表示出硬化面積的造價$100 \times\left[(x-4)\left(\cfrac-4\right)\right]$與綠化面積的造價$200\times\left[200-(x-4)\left(\cfrac-4\right)\right]$之和，然後再求其最小值即可。

(1). 求總造價 $y$ (元)關於長度 $x(m)$ 的函式；

解：由矩形的長為 $x(m)$，則得到矩形的寬為 $\cfrac(m)$，

則中間區域的長為 $(x-4) (m)$，寬為 $\left(\cfrac-4\right)(m)$，定義域為 $x\in(4,50)$

注意定義域的求解角度，令長$x$

$-$

$4$

$>$

$0$，且令寬$\cfrac$

$-$

$4$

$>$

$0$，求其交集得到$4$

$\(x$

$\(50$；

；則 $y=100 \times\left[(x-4)\left(\cfrac-4\right)\right]+200\times\left[200-(x-4)\left(\cfrac-4\right)\right]$

整理得 $y=18400+400\left(x+\cfrac\right)$， $x\in(4,50)$；

(2). 當 $x(m)$ 取何值時，總造價最低，並求出最低總造價 .

解：因為 $x+\cfrac\geqslant 2\sqrt}=20\sqrt$，

當且僅當 $x=\cfrac$，即 $x=10\sqrt\in(4,50)$時取等號，

所以當 $x=10 \sqrt$ 時, 總造價最低為 $(18400+8000\sqrt)$ 元.

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