相等關係和不等關係是數學量之間的兩種很重要的關係，他們都屬於確定性的關係，這兩種關係對應的數學刻畫方式是等式和不等式；但是在高中數學題目中，有些表面上看是相等關係，我們可以轉化為不等關係求變數的取值範圍，有些是不等關係，卻其實表達的是相等關係。
不等關係轉化為相等關係，主要是由於函式性質[1]
的介入和參與。
已知\(a^2\leqslant 0\)，其實是告訴我們\(a=0\)。已知\(sinx\geqslant 1\)，其實是告訴我們\(sinx=1\)。
已知\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；
分析：由於\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)，
且\((x+y-3)^2\geqslant 0\)，\(3|x-y-1|\geqslant 0\)，
則須滿足條件\(\left\\\\end\right.\)，
從而求得\(x=2\)，\(y=1\)，則\(2x+y=5\)；
變式1：已知\((x+y-3)^2+3(x-y-1)^2=0\)，求\(2x+y\)的值；
變式2：已知\(|x+y-3|+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；
變式3：已知\((x+y-3)^2+\sqrt=0\)，求\(2x+y\)的值；
變式4：已知\(\sqrt+\sqrt=0\)，求\(2x+y\)的值；
變式5：已知\(\sqrt+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值；
變式6：已知\(|a-7|+\sqrt+(c-25)^2=0\)，求以\(a,b,c\)為三邊的三角形面積。
求函式\(f(x)=\sqrt+\sqrt\)的定義域；
分析：由題目可知，\(1-x^2\geqslant 0\)且\(x^2-1\geqslant 0\)，故\(x^2=1\)，
解得\(x=\pm 1\)，故定義域為\(\\)。
【2018寶雞市二檢文科理科第17題改編】已知函式\(f(x)=4sinxsin(x+\cfrac)\)，在\(\delta abc\)中，角\(a、b、c\)的對邊分別是\(a、b、c\)，
(1)、當\(x\in [0，\cfrac]\)時，求函式\(f(x)\)的取值範圍。
分析：先將函式變形為正弦型函式\(f(x)=2sin(2x-\cfrac)+1\)，其中\(x\in [0，\cfrac]\)，
題目轉化為正弦型函式在限定區間上的值域問題，常規題目，\(f(x)\in [0，3]\)
(2)、若對任意的\(x\in r\)，都有\(f(x)\leq f(a)\)，求\(a\)的大小。
分析：對任意的\(x\in r\)，都有\(f(x)\leq f(a)\)，則\(f(a)\geqslant f(x)_\)；
\(f(x)=2sin(2x-\cfrac)+1，x\in r\)，則\(f(x)_=3\)，
即\(f(a)\geqslant 3\)，又由於\(f(a)=2sin(2a-\cfrac)+1\)
故有\(2sin(2a-\cfrac)+1\geqslant 3\)，即\(sin(2a-\cfrac)\geqslant 1\)，
又由正弦函式的值域範圍【數學常識：已知\(sinx\geqslant 1\)，其實是告訴我們\(sinx=1\)】可知，
此時只能取\(sin(2a-\cfrac)=1\)，即\(2a-\cfrac=\cfrac\)，故\(a=\cfrac\)。
相等關係轉化為不等關係，主要是由於重要不等式[2]
和均值不等式的引入和參與。
已知\(a，b\in r^，a+b-ab+3=0\)，求：①、求\(ab\)的範圍；②、求\(a+b\)的範圍；
分析：①、求\(ab\)的範圍；
由題目可知，\(-3+ab=a+b\)，又由均值不等式可知\(a+b\geqslant 2\sqrt\)，
則有\(ab-2\sqrt-3\geqslant 0\)，即\((\sqrt)^2-2\sqrt-3\geqslant 0\)
分解因式得到，\((\sqrt+1)(\sqrt-3) \geqslant 0\)
解得\(\sqrt\leqslant -1\) 或 \(\sqrt\geqslant 3\)
又\(a，b\in r^\)，故 \(\sqrt\geqslant 3\) (當且僅當\(a=b=3\)取到等號)
給\(\sqrt\geqslant 3\)兩邊同時平方，得到\(ab\geqslant 9\)，即\(ab\in [9,+\infty)\)
②、求\(a+b\)的範圍；
分析：\(\because a+b+3=ab \leq (\cfrac)^2，令t=a+b\)
則轉化為\(t^2-4t-12 \ge 0\)，解得\(t \leq -2\)(捨去) 或 $t \ge 6 $
故 \(a+b \ge 6 (當且僅當a=b=3取到等號)\)
【評析】代數式中同時有\(a+b\)和\(ab\)型，兩元\(a+b，ab\)常常轉化集中為一元\(a+b\)或\(ab\)，這樣就好處理多了。
【2023年新課標ⅰ理科數學第\(12\)題】 若 \(2^+\log_a=4^+2\log_b\)， 則 【\(\quad\)】
$a.a > 2b$ $b.a < 2b$ $c.a > b^2$ $d.a < b^2$
解析：因為 \(2^+\log _ a=4^+2 \log _ b=2^+\log _b\)，
又由於 \(2^+\log_b<2^+\log_2b=2^+\log_b+1\)，
故 \(2^+\log_a<2^+\log_2b\)，
此時令 \(f(x)=2^+\log_x\)， 則上述條件變化為 \(f(a)這樣就能利用新構造的函式的性質比較大小，此時主要用到定義域和單調性。
\(\quad\)，
由指對數函式的單調性可得 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 內單調遞增，且 \(f(a)，
則得到 \(a<2b\)，故選：\(b\) .
已知二次函式\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖象經過點\((-2，0)\)，且不等式\(2x≤f(x)≤\cfrac^+2\)對一切實數\(x\)都成立。
（ⅰ）求函式\(f(x)\)的解析式；
【解析】：（ⅰ）由題意得：\(f(-2)=4a-2b+c=0①\)，
因為不等式\(2x≤f(x)≤\cfracx^2+2\)對一切實數\(x\)都成立，
令\(x=2\)，得：\(4≤f(2)≤4\)，所以\(f(2)=4\)，即\(4a+2b+c=4②\)
由①②解得：\(b=1，且c=2-4a，\)
所以\(f(x)=ax^2+x+2-4a\)，
由題意得：\(f(x)-2x≥0\)且\(f(x)-\cfracx^2-2≤0\)對\(x∈r\)恆成立，
即\(\beginax^2-x+2-4a\ge 0③\\(a-\cfrac)x^2+x-4a\leq 0 ④\end\)對\(x\in r\)恆成立，
對③而言，由\(a>0\)且\(\delta =1-4a(2-4a)\leq 0\)，
得到\((4a-1)^2\leq 0\)，所以\(a=\cfrac\)，經檢驗滿足④，
故函式\(f(x)\)的解析式為\(f(x)=\cfracx^2+x+1\)。
解後反思：注意由\(4\leq f(2)\leq 4\)得到\(f(2)=4\)的結論的使用，即夾逼定理，或者理解為用不等關係給出相等關係。
恆成立中有些帶等號，有些不帶等號。有空再補充。
常見常用函式的性質：
\(y=x^2\geqslant 0\)，\(y=\sqrt\geqslant 0\)，\(y=|x|\geqslant 0\)
↩︎重要不等式：\(a^2+b^2\geqslant 2ab\)(\(a,b\in r\))
均值不等式：\(a+b\geqslant 2\sqrt\)(\(a,b\geqslant 0\)) ↩︎
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