自適應濾波 矩陣求逆

2022-01-23 20:09:39 字數 2735 閱讀 8943

【讀書筆記09】

前言

西蒙.赫金的《自適應濾波器原理》第四版第八章:最小二乘法。因為最小二乘涉及到矩陣求逆,因為通常對於秩缺矩陣其逆是不可求的,這就需要借助廣義逆矩陣。而廣義逆矩陣可以借助奇異值分解(svd,singularly valuable decomposition)進行求解。

有了這個思路,在學習各類最小二乘方法之前,對廣義矩陣求逆、svd分解進行梳理是有必要的,本文主要梳理矩陣求逆

一、滿秩情況a-方陣

對於$n$x$n$的非奇異矩陣$\bf$,對應的逆矩陣為:$}^}$.

b-長方形陣

此時對應逆矩陣分為:左逆矩陣以及右逆矩陣。

對於矩陣a(n×m):

可以看出,當$m=n$時,$}=}=}^}$.

二、秩虧缺情況滿秩情況中,通過矩陣左/右乘,可以實現滿秩方陣,進而求逆得解,對於秩虧缺的情況,上面的求逆思路不再適用,這就需要一種更廣義的定義逆矩陣的方式,也就是需要同時左、右乘以矩陣變換,才能得到滿秩的特性,廣義逆矩陣對滿秩情況仍然有效。給出moore-penrose逆矩陣定義:

令$\bf$是任意$m$x$n$矩陣,如果$}^+ }$滿足以下四個條件,稱矩陣$}^+ }$是$\bf$的廣義逆矩陣:

1)$}}^+ }} = }$;

2)$}^+ }}}^+ } = }^+ }$;

3)$}}^+ } = }}^+ }} \right)^h}$;

4)$}^+ }} = }^+ }}} \right)^h}$;

具體的原理推導可以參考:張賢達《矩陣分析與應用》p61~64.

容易看出:$\bf$的滿秩情況,廣義逆矩陣仍然使用。moore-penrose逆矩陣是廣義逆矩陣的一種形式。

三、求解moore-penrose逆矩陣求解有多種思路,這裡只分析基於svd分解的方法。首先給出求解步驟:

背景知識

對於存在正交矩陣$\bf$、$\bf$,使得:

$}}}}^h}$

式中:

且$r = rank(})$.

求解步驟

利用svd進行廣義逆矩陣求解:

$}^ + } = }}^ + }}^h}$

其中:

事實上,對於秩為$r$,$\bf$分解可簡寫為:

$} = }_r}}_1}}_r}^h$

從而svd可以簡化為:

$}^ + } = }_r}}_}}^}_^h}^h}$

其中$}_1} = diag\left( ^2,\sigma _^2,...,\sigma _^2} \right)$.

因為暫時不討論svd,此處先直接呼叫,給出對應**:

a = [ 1     7     5

1 6 4

2 7 8

10 5 4];

[u,s,v] = svd(a);

k = min(size(a));

s_plus = [diag(1./diag(s))].^2;

a_mp = 0;

for i = 1:k

a_mp = a_mp+v(:,i)*s_plus(i,i)*v(:,i)'*a';

end

求解的a_mp為廣義逆矩陣,其結果與`pinv`指令的作用等價。

理論證明

表示式簡寫:

首先分析moore-penrose條件1

moore-penrose條件2與條件1證明類似;

再分析moore-penrose條件3:

即$}}^+ } = }}^+ }} \right)^h}$;條件4同理。

既然廣義矩陣求逆可以借助svd分解,需要看看svd如何分解,對svd進行梳理點選這裡。

有了廣義逆矩陣,如何求解最小二乘可以點選這裡。

參考:

自適應中值濾波

演算法 自適應中值濾波 layer a a1 zmed zmin a2 zmax zmed if a1 0 and a2 0,goto layer b else enlarge sxy,goto layer a if sxy exceeds the boundary,out zxy layer b ...

自適應濾波(LMS,RLS)

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