本篇文章主要針對匹配濾波的要點及注意事項進行闡述。
匹配濾波的公式：
其中，h(t)是匹配濾波器衝激響應，s(t)是參考訊號，x(t)是目標回波訊號。
從上述公式，可得到以下結論：
1、匹配濾波是目標回波訊號與匹配濾波器衝激響應的線性卷積，而匹配濾波器的衝激響應就是參考訊號的「共軛、翻轉」。因此，匹配濾波是目標回波與參考訊號「共軛、翻轉」的線性卷積。
2、匹配濾波是回波訊號與參考訊號共軛、翻轉的線性卷積，那麼就可以通過頻域快速演算法fft實現。但是應注意的是，fft對應的是「迴圈卷積」，需滿足一定條件才能使得fft快速演算法結果與時域線性卷積結果相同，該條件將在後文介紹。
3、從公式最右側的等式可知，匹配濾波又相當於目標回波訊號與參考訊號的互相關。（由於參考訊號與目標回波訊號基本一致，有些資料中也稱為自相關。）
在matlab中，與上述三個結論分別對應的函式分別為conv、fft+ifft、xcorr。事實上，conv與xcorr在演算法上等價，只差共軛、翻轉兩個步驟。
錯誤的開啟方式：如果採用下面的程式，結果很有可能讓你很困惑！！！
clear all;
close all;
clc;
%% 引數
fs = 48e3; % 取樣頻率
tp = (21 + 1/3) * 1e-3; % 脈衝寬度
tr = 4 * tp; % 脈衝重複週期
nr = round(tr * fs);
np = round(tp * fs);
fc = 5e3; % 載波頻率
gamma = 500e3; % 調頻斜率
%% 訊號
t = (0:np - 1) / fs; % 快時間
sref = [exp(1j * 2 * pi * (fc * t + 0.5 * gamma * t.^2)), zeros(1, nr - np)]; % 參考訊號/發射訊號
st = circshift(sref, 128);
figure;
plot(abs(fftshift(fft(st))));
figure;
plot(abs(st),'r');hold on;
%% 通道
st = awgn(st, 5);
plot(abs(st),'b');hold off;
%% 匹配濾波
out1 = xcorr(st, sref);
out1 = out1(nr: end); % 前nr - 1個資料與後nr - 1個資料關於nr對稱，為了與後面長度一致，刪去前面的重複資料
% 法二：卷積（時域）
out2 = conv(st, conj(fliplr(sref)));
out2 = out2(nr: end); % 同理
% 法三：fft（頻域）
可以發現，採用上述程式時，fft方法的結果與conv方法的結果在3500-4000點時出現了不同，對於實際資料，該差距可能更明顯。我將在展示正確的**之後，解釋原因。
正確的方法：如果理解下面這段程式，你將不再困惑~
clear all;
close all;
clc;
%% 引數
fs = 48e3; % 取樣頻率
tp = (21 + 1/3) * 1e-3; % 脈衝寬度
tr = 4 * tp; % 脈衝重複週期
nr = round(tr * fs);
np = round(tp * fs);
fc = 5e3; % 載波頻率
gamma = 500e3; % 調頻斜率
%% 訊號
t = (0:np - 1) / fs; % 快時間
sref = [exp(1j * 2 * pi * (fc * t + 0.5 * gamma * t.^2)), zeros(1, nr - np)]; % 參考訊號/發射訊號
st = circshift(sref, 128);
figure;
plot(abs(fftshift(fft(st))));
figure;
plot(abs(st),'r');hold on;
%% 通道
st = awgn(st, 5);
plot(abs(st),'b');hold off;
%% 匹配濾波
out1 = xcorr(st, sref);
out1 = out1(nr: end); % 前nr - 1個資料與後nr - 1個資料關於nr對稱，為了與後面長度一致，刪去前面的重複資料
% 法二：卷積（時域）
out2 = conv(st, conj(fliplr(sref)));
out2 = out2(nr: end); % 同理
% 法三：fft（頻域）
out3 = ifft(fft(st, 2 * nr - 1) .* fft(conj(fliplr(sref)), 2 * nr - 1)); % 這裡修改啦！！！！
out3 = out3(nr:end); % 這裡修改啦！！！！
可以看到，在3500-4000點的誤差已經完全被消除掉，這是因為滿足了「迴圈卷積」等效計算「線性卷積」的條件，即fft點數n>=n1 + n2 - 1。其中，n1、n2分別為兩個訊號刪去左右兩側零值後的長度。事實上，matlab中conv函式計算的是兩個序列的線性卷積，而fft則對應序列的迴圈卷積。迴圈卷積是將有限長的序列進行週期延拓，等效為週期序列，進行卷積計算的。網路上有許多人提問：「conv與fft結果為什麼不同？」，這就是根本的原因。在滿足下面的公式時，可以無誤差地用迴圈卷積計算線性卷積：
其中，n1、n2分別為兩個訊號刪去左右兩側零值後的長度。例如，x(t) = ，那麼n1 = 3。
具體推導有時間再寫文章說明【手動狗頭】。
[1]趙志欣. 高頻外輻射源雷達新體制與訊號處理若干關鍵技術研究[d].武漢大學,2013.
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