分數階 fourier 變換是對經典 fourier 變換的推廣. 最早由 namias 以數學形式提出, 並很快在光學領域得到了廣泛應用。分數階 fourier 變換直觀上可看作是 chirp 基分解, 而實質上分數階 fourier 變換更具有時頻旋轉的特性, 它是一種統一的時頻變換, 隨著變換階數從 0 連續增長到 1 而展示出訊號從時域逐步變化到頻域的所有特徵。
****傅利葉變換缺陷：
1980 年， namias 從特徵值和特徵函式的角度, 以純數學的方式提出了分數階
fourier 變換(fractional fourier transform, frft)的概念 。
1993 年 mendlovic和 ozaktas 給出了分數階 fourier 變換的光學實現, 並將之應用於光學資訊處理 。
1993 年 almeida 指出分數階 fourier 變換可以理解為時頻平面的旋轉
1996 年 ozaktas 等提出了一種計算量與 fft 相當的離散演算法後,分數階 fourier 變換才引起大量訊號處理領域的研究者的注意。
這篇文獻總結近年來分數階 fourier 變換在訊號處理領域的研究成果，從基礎、應用基礎、應用三個層面對分數階 fourier 變換的理論體系進行闡述。
分數階 fourier 變換提供了訊號從時域到頻域全過程的綜合描述 , 隨著階數從 0 連續增長到 1，分數階 fourier 變換展示出訊號從時域逐步變化到頻域的所有變化特徵。
三種離散演算法總結：特性
特徵分解
離散取樣
線性組合
旋轉相加性√χ
√可逆性√√
√計算精度√√
χ計算量
閉式形式χ√
√分數階 fourier 變換可以理解為 chirp 基分解 , 因此分數階 fourier 變換特別適合於處理 chirp 類訊號。利用線性調頻 (lfm) 訊號在不同階數的分數階fourier 域呈現出不同的能量聚集性的特性 , 通過在分數階 fourier 域作峰值二維搜尋就可以實現對 lfm 訊號的檢測和引數估計 。
如果已知某訊號兩次不同階數的分數階 fourier 變換模，那麼就可以重構出該訊號 , 而只會相差乙個常數相位項 ( 原因在於只相差乙個常數相位項的兩個函式的同一階數分數階 fourier 變換將具有相同的模 )。
乘性濾波具有較好效果的前提條件是訊號與雜訊變換到某階分數階 fourier 域後能夠完全或大部分分離開 . 如果一次變換不能達到目的 ,那麼可以考慮級聯多次不同階數分數階 fourier 域乘性濾波來實現。
將分數階傅利葉變換的結果作為神經網路的輸入。在最優變換階數 p 的選取上 , 將 p 在一定範圍內 ( 0 ≤ p ≤ 1 ) 按某個步長進行步進嘗試 , 以選取效果最好的p 值。
分數階 fourier 變換在影象處理中的應用主要包括數字水印及加密 . 通過把
待處理影象變換到某階分數階 fourier 域 , 然後將水印資料按照一定的規則嵌入
選定的變換係數上。
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