計算機的運算方法

考慮到指標的本質是無符號整型，於是歸根結底來說就兩個型別：整型和浮點型

這個環節以4bit的有符號整型為例

上面是4bit的有符號整型【-8~7】的原碼反碼和補碼。

首先簡單粗暴地給出三者的變換規則（考試用）：

由於眾所周知的原因，這裡只有負數的變換

這個環節以8bit的有符號整型為例

背後的邏輯（並沒按這個邏輯講）

所有編碼系統的設計，都在追求連續性和唯一性。

原碼，反碼和補碼的演化，就在不斷提高整數編碼的這兩方面效能。

那麼隨著計算機的發展，人們發現要去處理一些負數的計算，怎麼辦，就拿著計算機的第一位做符號位唄！在原碼的規則下編碼對映是這樣的：

原碼的優點：

原碼的缺點：

反碼：為了給底層的加法運算簡化硬體設計，有了補碼，其對映關係是這樣的：

反碼怎麼來的，就是原碼的數值部分按位取反，

反碼的優點：

反碼的缺點： 補碼

結局是補碼解決了後兩個問題：

從此加法器只要開足馬力求和就好了，編碼的精妙使得硬體很容易實現。但是即便是補碼也還是會有溢位問題，但是！溢位是程式設計師的錯，不是cpu的錯。

前面三種方法在處理臨界點資料的表現：

紅色代表錯了，藍色正確

補碼的精妙：

仍以8bit有符號整型為例

歷史為什麼會選擇補碼？當然是它解決了以上的種種問題，現在問題是為何它就能解決呢?

第一：0的重複對映問題

在補碼的編碼下，原來的0x80被對映給了-128，這樣2^8個編碼有各自的對映物件。

第二：為什麼編碼加減結果正好可以代表對應數的計算結果

補碼編碼精髓在於對負數的處理，負數的補碼被定義成2^n+x

這樣對於任意的a，c,(a>0,c>0)考慮a-c

a>c結果肯定是正數 a-c=a+(2^n-c) mod 2^n=a-c 沒問題

an=2n+(a-c) 沒問題，結果正好就是a-c的補碼

第三：為什麼反碼不能解決這兩個問題

負數的反碼是對x<0,其補碼為2^n-1+x

同樣對於任意的a，c,(a>0,c>0)考慮a-c

a>c結果肯定是正數 a-c=a+(2^n-1-c) mod 2^n=a-c -1 這顯然不行

an=2n-1+(a-c) 沒問題，這種情況下是正確的

當然容易知道a=c時也是正確的

補充：

餘數定理：

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那麼:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

補碼的對映關係如圖：

小結：int的情況只不過時數量上的擴充，至於無符號數就是跟鐘錶完全一樣的迴圈轉圈

以單精度浮點數為例

ieee754格式

日常開發中不可能只用整型，肯定有使用小數的場景，給你乙個32bit的位置，可以用差不多40億個不同的數編碼，那麼如何對映這些編碼對映的範圍更廣呢？答案是採用浮點數格式，也即

這就是現行ieee754標準進行對單精度浮點數的定義：

這樣的乙個32位編碼對映到的小數是這樣的：

補充概念：

練習：用ieee754單精度表示-0.75(10進製)

化為二進位制小數：-0.11

用規格化科學記數：-1.1x2^(-1)

對比上面的式子寫出三個部分的值

s=1fraction=0.10000000000000000000000（小數點後23位）

exponent=-1+bias=-1+127=126=01111110（二進位制）

乙個蘿蔔乙個坑

二進位制轉十進位制浮點數

0xc0a00000

寫成二進位制並按格式拆分：1 10000001 0100000000000000000000

寫出三部分的值

s=1fraction=0.25

exponent=129

計算十進位制浮點數

-1.25*2^2=-5

為什麼偏移是127？為什麼要把指數偏移一下？

浮點數運算

練習：0.5和-0.4375相加（使用4位精度）

先將二者化為規格化科學記數法：0.5=1.000x2^-1-0.4375=-1.110x2^-2

將最小指數的數的有效位進行右移，直到其指數和較大數匹配：-1.110x2^-2=-0.111x2^-1將有效數相加-0.111x2^-1 + 1.000x2^-1 = 0.001x2^-1將和規格化並檢查上溢和下溢0.001x2^-1 = 1.000x2^-4捨入和 這裡不需要捨入1.000x2^-4 =0.0625（10進製）

0.5和-0.4375相乘（使用4位精度）

將不帶偏階的指數相加 （-1）+（-2）= （-3）

有效數相乘：1.000 *1.110=1.110x2^-3

檢查有效數的積是否規格化，這裡是的；檢查指數是否上溢和下溢，這裡127>-3>-126，沒問題

對積捨入

定符號 結果-0.21875

總結：int的範圍是-2^31~2^31-1，兩個特殊點是0xffffffff=-1,0x80000000=-2^31float的可表示範圍是

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6 計算機的運算方法

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