基於張量網路的機器學習（八）

什麼是糾纏熵面積定律？

前面已經提到過，截斷了的mps是否有效與糾纏熵的面積定律有關（即糾纏熵面積定律告訴我們你的截斷維數可以怎麼取，我們根據這種方式），而且，我們希望借助糾纏熵面積定律找到一維mps的截斷維數，最後使得mps中的矩陣維數為1×d，d×d

2，d2×χ

\chi

χ，……，χ

\chi

χ×χ\chi

χ，……，χ

\chi

χ×d2，d2×d，d×1。用比較物理的話來說，糾纏熵面積定律就是在熱力學極限下，對於有短程相互作用構成的哈密頓量，如果其基態相對於激發態有能隙，那麼基態的兩個部分（a、b兩部分構成乙個量子體系）之間的糾纏熵正比於它們接觸的表面積，式子為：

s a∣

b∝ld

−1

s_ \propto l^-1}

sa∣b∝

ld−1

l代表a、b接觸部分的周長，d

\mathcal

d代表體系的空間維度，我們知道，量子態的糾纏熵是這麼定義的：

s =−

∑α=0

d−1λ

α2ln⁡

λα

2s=-\sum_^ \lambda_^ \ln \lambda_^

s=−α=0

∑d−1

λα2

lnλα

2λ

\lambda

λα\alpha

α是奇異值，λ

\lambda

λ是奇異譜，有時候為了方便，也會把奇異譜中的奇異值排列成乙個向量

時間演化是什麼？

時間演化顧名思義就是指隨著時間的變化狀態發生了改變，在量子力學上就是物理狀態和觀測量隨時間的變化，再具體點就是態矢隨時間的演化，由此還能引入時間演化算符的概念，就我所知，時間演化算符與薛丁格方程有著一定的聯絡，並且在tebd裡起著一定的作用暫時了解這麼多。

~~二.基態和哈密頓量期望值的求解對應的最優化問題~~

最大本徵值問題定義為：假設矩陣本徵值為實數，求解給定矩陣的最大本徵值及其本徵態，即給定乙個矩陣m，求解歸一化向量v使得：

f =∣

vtmv

∣\mathrm=\left|\mathrm^} \mathrm\right|

f=∣∣v

tmv∣

∣的值極大化，該最優化問題的解為最大本徵態，相應的f值對應最大本徵值。

最大本徵值的冪級數求法如下：

lim ⁡k

→∞mk

=γ0k

u(0)

t\lim _ m^=\gamma_^ u^ u^

k→∞limm

k=γ0

ku(

0)u(

0)t其中γ

0\gamma_

γ0和u(0

)u^

u(0)

為實對稱矩陣m對應的最大的唯一本徵值和本徵向量，有過線性代數基礎的能夠很好理解這個。

熱力學量即對應物理量的概率平均值，其式子如下：

o (β

)=∑s

1,s2

,…p(

s1,s

2,…;

β)o(

s1,s

2,…)

o(\beta)=\sum_, s_, \ldots} p\left(s_, s_, \ldots ; \beta\right) o\left(s_, s_, \ldots\right)

o(β)=s

1,s

2,…

∑p(

s1,

s2,

…;β)

o(s1

,s2

,…)

其中o是物理值，p是概率，且：

p (s

1,s2

,…;β

)=e−

βe(s

1,s2

,…)z

p\left(s_, s_, \ldots ; \beta\right)=\frac, s_, \ldots\right)}}

p(s1,

s2,

…;β)

=ze−

βe(s

1,s

2,…

)分號前面的s1,s2……表示狀態，後面的β

\beta

β表示倒溫度，為溫度的倒數，z是配分函式，e是能量，配分函式z可以理解為歸一化因子，z=∑

s1,s

2,…e

−βe(

s1,s

2,…)

z=\sum_, s_, \ldots} e^, s_, \ldots\right)}

z=s1,

s2,

…∑e

−βe(

s1,

s2,

…)

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