看完基本符號後, 我認為有必要將某個概念的介紹提前, 否則將會難以理解張量網路的圖示, 那就是tensor contraction (無對應翻譯, 比較好的翻譯可能是張量的縮約 但實際上的含義等同於矩陣中的trace 跡). 這是跡的一種張量上的一般化概念. (但不等同於張量的跡, 張量跡未來會講, 可以看做這個contraction的特例)
本文將採用小端序方法.
雖然很不正式, 至少我是覺得這個符號就是個能夠自己給出正確的變形後索引值的, 相當便利的乙個工具. 你就當他是個黑盒子去用, 這樣我們就可以不去思考到底座標變換是如何計算的.
大端序演算法:
\[ \overline = i_n + (i_-1) i_n + (i_-1)i_ni_ + \dots + (i_1-1)i_2\dots i_.\\ \]
小端序演算法:
\[ \overline = i_1 + (i_2-1) i_1 + (i_3-1)i_1i_2 + \dots + (i_n-1)i_1\dots i_. \]
小端序下要注意的是, 兩個向量的外積的向量化將等同於這兩個向量的kronecker乘積. 即
\[ \text(a \circ b) = a \otimes b \]
大端序下這個操作就必須反過來做, 或者選擇左kronecker乘積, 見1.0.2
\[ \text(a \circ b) = b \otimes a = a \otimes_ b \]
\[ \mathrm = \begin \mathrm_ & \dots & \mathrm_\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \mathrm_ & \dots & \mathrm_ \end , \quad \mathrm = \begin \mathrm_ & \dots & \mathrm_\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \mathrm_ & \dots & \mathrm_ \end, \]
\[ \mathrm = \mathrm \,|\!\!\otimes\!\!|\,\mathrm\in\mathbb^ \]
\[ \underline}(:,\dots,:, i_n, :,\dots,:) = \underline}(:,\dots,:, i_n,:,\dots,:) \otimes \underline}(:,\dots,:,i_n,:,\dots,:). \]
\[ \mathrm\odot_1 \mathrm = \begin \mathrm(1,:)\otimes\mathrm(1,:)\\ \vdots\\ \mathrm(i,:)\otimes \mathrm(i,:)\end \in \mathbb^\tag \]
\[ \mathrm = \text(\underline}) = \sum_r \underline}(r,:,r), \]
下期內容: 1.1 基礎張量網路的圖形表達 graphical representation of fundamental tensor networks
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