在判斷n(n-1)/2時我們先來假定乙個任意整數k，那麼此時，2k一定是偶數，2k+1一定是奇數
接下來開始判斷n(n-1)/2的奇偶性，我們先來對分子的奇偶性進行分情況討論：
一. 當分子的n為偶數，n-1為奇數時：
因為此時(n-1)為奇數，(n-1)/2不為整數，n/2卻有兩種情況，（例如n=8時，n/2為偶數，當n=14時，n/2卻是奇數），所以此時繼續分兩種情況來討論
①當n/2為奇數時
n/2=2k+1→解得n=4k+2
把n=4k+2代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=(2k+1)(4k+1)
此時2k+1一定為奇數、4k+1一定為奇數，因為奇數和奇數的乘積一定為奇數
所以當n=4k+2時：n(n-1)/2為奇數
②當n/2為偶數時
n/2=2k→解得n=4k
同理，把n=4k代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=2k(4k-1)
此時2k一定為偶數、4k-1一定為奇數，奇數和偶數的乘積一定為偶數
所以當n=4k時：n(n-1)/2為偶數
二. 當分子的n為奇數，n-1為偶數時：
此時n為奇數，n/2不為整數，(n-1)/2卻有兩種情況，（例如n-1=8時，(n-1)/2為偶數，當(n-1)=14時，(n-1)/2卻是奇數），所以此時仍然要分兩種情況來討論
①當(n-1)/2為奇數時
(n-1)/2=2k+1→解得n=4k+3
把n=4k+3代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=(2k+1)(4k+3)
此時2k+1一定為奇數、4k+3一定為奇數，因為奇數和奇數的乘積一定為奇數
所以當n=4k+3時：n(n-1)/2為奇數
②當(n-1)/2為偶數時
(n-1)/2=2k→解得n=4k+1
同理，把n=4k+1代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=2k(4k+1)
此時2k一定為偶數、4k+1一定為奇數，奇數和偶數的乘積一定為偶數
所以當n=4k+1時：n(n-1)/2為偶數
綜上所述：
當n=4k時，n(n-1)/2為偶數
當n=4k+1時，n(n-1)/2為偶數
當n=4k+2時，n(n-1)/2為奇數
當n=4k+3時，n(n-1)/2為奇數
以上便是當n為整數時，n(n-1)/2奇偶性的判斷過程。
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