（該博文為一網友所寫，非常詳細易懂，故搬運過來以後方便回憶學習）
一、為什麼需要梯度下降法
每個演算法模型都有自己的損失函式，而損失函式包含了各個位置上的引數，我們的最終目標都是要找到使模型損失函式盡可能小的引數。
在學習簡單線性回歸時，我們使用最小二乘法來求損失函式的最小值，但是這只是乙個特例。在絕大多數的情況下，損失函式是很複雜的（比如邏輯回歸），根本無法得到引數估計值的表示式。因此需要一種對大多數函式都適用的方法。這就引出了「梯度演算法」。
首先梯度下降(gradient descent, gd)，不是乙個機器學習演算法，而是一種基於搜尋的最優化方法。
梯度下降法通過導數告訴我們此時此刻某引數應該朝什麼方向，以怎樣的速度運動，能安全高效降低損失值，朝最小損失值靠攏。
二、什麼是梯度
梯度是乙個向量，具有大小和方向
梯度下降法的基本思想可以模擬為乙個下山的過程。
假設這樣乙個場景：乙個人被困在山上，需要從山上下來(找到山的最低點，也就是山谷)。但此時山上的濃霧很大，導致可視度很低；因此，下山的路徑就無法確定，必須利用自己周圍的資訊一步一步地找到下山的路。這個時候，便可利用梯度下降演算法來幫助自己下山。怎麼做呢，首先以他當前的所處的位置為基準，尋找這個位置最陡峭的地方，然後朝著下降方向走一步，然後又繼續以當前位置為基準，再找最陡峭的地方，再走直到最後到達最低處；同理上山也是如此，只是這時候就變成梯度上公升演算法了
簡單的來說，多元函式的導數(derivative)就是梯度(gradient)，分別對每個變數進行微分，然後用逗號分割開，梯度是用括號包括起來，說明梯度其實乙個向量，我們說損失函式l的梯度為：
首先，我們有乙個可微分的函式。這個函式就代表著一座山。我們的目標就是找到這個函式的最小值，也就是山底。根據之前的場景假設，最快的下山的方式就是找到當前位置最陡峭的方向，然後沿著此方向向下走，對應到函式中，就是找到給定點的梯度 ，然後朝著梯度相反的方向，就能讓函式值下降的最快！因為梯度的方向就是函式之變化最快的方向
所以，我們重複利用這個方法，反覆求取梯度，最後就能到達區域性的最小值，這就類似於我們下山的過程。而求取梯度就確定了最陡峭的方向，也就是場景中測量方向的手段。那麼為什麼梯度的方向就是最陡峭的方向呢？
2.2.1 微分
看待微分的意義，可以有不同的角度，最常用的兩種是：
函式影象中，某點的切線的斜率
函式的變化率
幾個微分的例子：
1.單變數的微分，函式只有乙個變數時
2.多變數的微分，當函式有多個變數的時候，即分別對每個變數進行求微分
2.2.2 梯度
梯度實際上就是多變數微分的一般化。
下面這個例子：
我們可以看到，梯度就是分別對每個變數進行微分，然後用逗號分割開，梯度是用<>包括起來，說明梯度其實乙個向量。
梯度是微積分中乙個很重要的概念，之前提到過梯度的意義
在單變數的函式中，梯度其實就是函式的微分，代表著函式在某個給定點的切線的斜率
在多變數函式中，梯度是乙個向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函式在給定點的上公升最快的方向
**這也就說明了為什麼我們需要千方百計的求取梯度！**我們需要到達山底，就需要在每一步觀測到此時最陡峭的地方，梯度就恰巧告訴了我們這個方向。梯度的方向是函式在給定點上公升最快的方向，那麼梯度的反方向就是函式在給定點下降最快的方向，這正是我們所需要的。所以我們只要沿著梯度的方向一直走，就能走到區域性的最低點！
2.3 數學解釋
首先給出數學公式：
此公式的意義是：j是關於θ的乙個函式，我們當前所處的位置為θ0點，要從這個點走到j的最小值點，也就是山底。首先我們先確定前進的方向，也就是梯度的反向，然後走一段距離的步長，也就是α，走完這個段步長，就到達了θ1這個點！
2.3.1 α
α在梯度下降演算法中被稱作為學習率或者步長，意味著我們可以通過α來控制每一步走的距離，以保證不要步子跨的太大扯著蛋，哈哈，其實就是不要走太快，錯過了最低點。同時也要保證不要走的太慢，導致太陽下山了，還沒有走到山下。所以α的選擇在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的話，可能導致遲遲走不到最低點，太大的話，會導致錯過最低點！
2.3.2 梯度要乘以乙個負號
梯度前加乙個負號，就意味著朝著梯度相反的方向前進！我們在前文提到，梯度的方向實際就是函式在此點上公升最快的方向！而我們需要朝著下降最快的方向走，自然就是負的梯度的方向，所以此處需要加上負號；那麼如果時上坡，也就是梯度上公升演算法，當然就不需要新增負號了。
例項我們已經基本了解了梯度下降演算法的計算過程，那麼我們就來看幾個梯度下降演算法的小例項，首先從單變數的函式開始，然後介紹多變數的函式。
3.1 單變數函式的梯度下降
我們假設有乙個單變數的函式
函式的微分，直接求導就可以得到
初始化，也就是起點，起點可以隨意的設定，這裡設定為1
學習率也可以隨意的設定，這裡設定為0.4
梯度下降計算公式
3.2 多變數函式的梯度下降
我們假設有乙個目標函式
現在要通過梯度下降法計算這個函式的最小值。我們通過觀察就能發現最小值其實就是 (0，0)點。但是接下來，我們會從梯度下降演算法開始一步步計算到這個最小值！
我們假設初始的起點為：
關於引數學習率問題 :
首先，學習率不能太大。如果學習率太大，那麼有可能會「邁過」最低點，從而發生「搖擺」的現象（不收斂），無法得到最低點
其次，學習率又不能太小。如果太小，會導致每次迭代時，引數幾乎不變化，收斂學習速度變慢，使得演算法的效率降低，需要很長時間才能達到最低點
梯度演算法有乙個比較致命的問題：
從理論上，它只能保證達到區域性最低點，而非全域性最低點。在很多複雜函式中有很多極小值點，我們使用梯度下降法只能得到區域性最優解，而不能得到全域性最優解。那麼對應的解決方案如下：首先隨機產生多個初始引數集，即多組；然後分別對每個初始引數集使用梯度下降法，直到函式值收斂於某個值；最後從這些值中找出最小值，這個找到的最小值被當作函式的最小值。當然這種方式不一定能找到全域性最優解，但是起碼能找到較好的。
對於梯度下降來說，初始點的位置，也是乙個超引數。
梯度下降法原理
求解機器學習演算法的模型引數，常用兩種方法 梯度下降，最小二乘法。此外還有牛頓法和擬牛頓法。1.梯度 對多元函式引數求偏導，把求得的偏導寫成向量形式。比如 f x,y 對x，y求偏導，梯度就是 f x,f y t。2.梯度下降法詳解 梯度下降法有代數法和矩陣法兩種表示形式。2.1 代數法 1.先決條...
梯度下降法和隨機梯度下降法
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梯度下降法
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