1.3 動態規劃的優化原理與無後效性
2、動態規劃問題
2.2 蒜頭君下山問題
2.3 三維的蒜頭君回家問題
動態規劃是程式設計解題的一種重要手段，2023年美國數學家ｒ.bellman等人，根據一類多階段問題的特點，把多階段決策問題變成一系列相互聯絡的單階段問題，然後逐個解決。與此同時，他提出這類問題的最優化原理，從而建立了解決最優化問題的一種新方法：動態規劃。
動態規劃演算法通常用於求解某種最優性質的問題。
我們可以用乙個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要被計算過，就講其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。
1.2.1 階段
把所給問題的求解過程恰當地分成若干個相互聯絡的階段，以便於求解。過程不同，階段數就可能不同。描述階段的變數稱為階段變數，常用 表示。階段的劃分，一般是根據時間和空間的自然特徵來劃分，但要便於把問題的過程轉化為多階段決策的過程。
1.2.2 狀態
狀態表示每個階段開始面臨的自然狀況或客觀條件，它不以人們的主觀意志為轉移，也稱為不可控因素。通常乙個階段有若干個狀態，狀態通可以用乙個或一組數來描述，稱為狀態變數。
1.2.3 決策
表示當過程處於某一階段的某個狀態時，可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。不同的決策對應著不同的數值，描述決策的變數稱決策變數。
1.2.4 狀態轉移方程
動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段的狀態和上一階段的決策的結果，由第 i段的狀態dp[i],和決策 u[i]來確定第 i+1段的狀態。狀態轉移表示為f(i + 1) = t(f(i), u(i)) ，稱為狀態轉移方程。
1.2.5 策略
各個階段決策確定後，整個問題的決策序列就構成了乙個策略，對每個實際問題，可供選擇的策略有一定範圍，稱為允許策略集合。允許策略集合中達到最優效果的策略稱為最優策略
1.3.1 最優化原理
乙個過程的最優決策具有這樣的性質：即無論其初始狀態和初始決策如何，其今後諸策略對以第乙個決策所形成的狀態作為初始狀態的過程而言，必須構成最優策略」。也就是說乙個最優策略的子策略，也是最優的。
1.3.2 無後效性
如果某階段狀態給定後，則在這個階段以後過程的發展不受這個階段以前各個狀態的影響。
2.1.1 問題描述
可憐的可樂機要回家，已知小可樂機在 左下角 (1,1) 位置，家在 右上角 (n,n) 座標處。小可樂機走上乙個格仔 (i,j) 會花費一定的體力 a[i][j]，而且小可樂機只會往家的方向走，也就是只能往上，或者往右走。小可樂機想知道他回到家需要花費的最少體力是多少, 求你幫幫小可樂機吧qwq
例如下圖所示，格仔中的數字代表走上該格仔花費的體力：
2.1.2 解題思路
對於該圖來說，最優策略已在圖上標出，最少花費體力為：3 + 2 + 4 + 3 = 123 + 2 + 4 + 3 = 12。
我們把走到乙個點看做乙個狀態，對小可樂機來說，走到乙個點只有兩種方式，乙個是從下面走到該點，一種是從左邊走到該點。那麼點 (i,j) 要麼是從 (i-1,j) 走到 (i,j)，要麼是從點 (i,j-1) 走到 (i,j)。
所以從哪個點走到 (i,j) 就是乙個 決策。接下來，我們用 dp(i,j) 來代表走到點 (i,j) 一共花費的最少體力。
我們需要花費最少力氣走到家，所以可以得到狀態轉移方程：dp(i,j) = min(dp(i-1,j), dp(i,j-1)) + a[i][j] 。根據轉移方程，我們可以推出走到每個點花費的最少體力。
對於圖中的邊界點，要在轉移前加上判斷是否為邊界，如：點 (1,3) 只能從點 (1,2) 走過來，點 (3,1) 只能從點 (2,1) 走過來等等。
動態規劃的題目的核心是寫出狀態轉移方程，對於乙個動態規劃的題目，如果我們能寫出轉移方程那麼**實現就變得簡單多了。大部分的動態規劃題目，在計算出轉移方程後，可以用類似於遞推的迴圈結構，來寫出**。
2.1.3 **實現
#include
#include
using
namespace std;
int a[
100]
[100];
// a陣列代表在點(i,j)花費的體力
int dp[
100]
[100];
// dp陣列代表走到點(i,j)一共花費的最少體力
intmain()
} dp[1]
[1]=
0;//先把初始邊界賦值好，再利用遞推進行求解
for(
int i =
1; i <= n; i++
)else
if(i ==1)
else
if(j ==1)
else}}
cout<
[n]<
return
0;
蒜頭在玩一款遊戲，他在乙個山頂，現在他要下山，山上有許多水果，蒜頭每下乙個高度就可以撿起乙個水果，並且獲得水果的能量。山的形狀如圖所示：
31 2
6 2 3
3 5 4 1
這是乙個高度為4的山，數字代表水果的能量。每次下乙個高度，蒜頭需要選擇是往左下走，還是往右下走。例如：對於上圖的情況，蒜頭能獲得的最大能量為，3+1+6+5=15。現在，蒜頭希望你能幫他計算出下山能獲得的最大能量。
2.2.2 解題思路
狀態轉移方程：f[i][j]=f[i][j]+max(f[i-1][j],f[i-1][j])
2.2.3 **實現
#include
using
namespace std;
const
int n=
1e3+9;
const
intint
=1000000000
;int f[n]
[n];
intmain()
}int ma=
-inf;
//定義ma表示最後的答案，並初始化為負無窮
for(
int i=
1;i<=n;
==i)}}
if(ma==
-inf)
cout<
retrun 0
;}
蒜頭君要回家（0,0,0），且值蒜頭君當前位置（x,y,z）希望能盡快回到家中，請你幫他計算出回家所需要的最短路程。蒜頭君生活的城市可以看做是乙個 xyz三維的網格，其中有道路有障礙，鑰匙和家所在的地方可以看做是道路，可以通過。蒜頭君可以在城市中沿著上下左右前後6個方向移動，移動乙個格仔算做走一步。
2.3.2 解題思路
在做多維動態規劃時，第一步是描述事物，在描述的時候先不必管我們使用空間的大小。當我們可以準確描述清楚乙個物體的各個狀態的時候，在考慮優化，看看有沒有哪個描述是沒有必要的，哪個描述是可以通過另外乙個值表示。
當多維空間的時候，不能像二維空間那樣找規律，這時候需要自己的推理，寫出遞推方程式。
遞推式：f[i][j][k]=min(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k],f[i][j][k-1])+f[i][j][k])+f[i][j][k]
2.3.3 **實現
#include
using
namespace std;
const
int n=
1e2+9;
const
int inf =
1000000000
;int f[n]
[n][n]
;int
main()
}}for(
int i=
0;i<=x;
++i)
if(j!=0)
if(k!=0)
if(mi!=inf)}}
} cout<
[y][z]
<
return0;
}
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