如何理解演算法中的漸進符號
我們分析乙個演算法的時候，常常需要用到數學去描述其效能。最常用的的是ø。比如在一段程式中有
for(i = 0,i < n ; i ++)
for(j = 0; j < n ; j++);
for (k = 0; k < n ; k ++);
比如說 ：
ax ² + bx + c = f(x);那麼有θ（x²）= f(x).
ax³ + bx² + cx + d = f(x);那麼有θ（x³） = f(x).
也就是說它相當於取出f(x)的最高次項然後去掉其常數因子，然後放入θ（）中，而放入θ（）中又表示了什麼呢？為了弄清楚這個問題，我們來看其定義：
注：在集合表示中「：」符號表示「滿足於 …條件」
θ（g(n)） =
從後面半句開始，「存在 n > n0,0 ≤ c1·g(n)」這裡保證了g(n)是乙個增函式。接著，有 c1·g(n) ≤ f(n) ≤ c2·g(n)。在腦海裡可以想象出來函式影象 [ c1·g(n), c2·g(n) ]這個區間實際上是搖擺的曲線，如果把g(n)看做是y = x這樣的正比例函式，就是乙個扇形是吧？一根曲線搖擺著，掃出乙個扇形來。而f(n)就是這組成扇形的眾多曲線中的一根！這裡也就是說，無論g(n)是什麼，總能有乙個常數因子使得c1·f(n) =g(n)。再返回來原來的題目中去理解：
a x² + bx + c = f(x);那麼有θ（x²）= f(x)，這裡θ（x²）表示，在x趨於無窮大這個過程中，有乙個常數c使得cn²= ax² + bx +c = f(x)，也就是：同!階!數!(見高數上);這樣，我們用θ（）來描述先程式的效能n² + n變成了θ（n²）,這裡表明，在n趨於無窮大的過程中，總有乙個常數因子使得cn² = n² + n,這個常數因子c在上文中說到，由機器和其它非演算法因素來決定。也就是說，我們用θ（n²）來表示乙個演算法的效能的時候，我們就完全忽略了機器，只研究演算法本身，它好像是說：無論你在什麼機器上跑這個演算法，只要輸入規模足夠大，你的效能都是n²的整數倍，至於是多少倍，由機器決定的，反正在同樣的機器上，這個倍數是相等了。
你看，θ（x²）表示的不就是機器無關的，純演算法的效能了嗎？原來的問題解決了。不過θ（x²）符號還使得我們只關注最高次冪，不去關注低次項，因為在n→∞的時候，低次項是沒有意義的，因為此時只要n變化一點點，就足以抵消低次項的變化（其實還是同階數）。所以我們知道，對於乙個時間複雜度為θ（x²）的演算法，它的時間效能是優於θ（x³）的演算法的，這裡我們沒有考慮常數因子，即使θ（x³）的常數因子是1而θ（x²）的常數因子是10000000000000也沒有關係，因為無論如何，總有乙個值n0使得n越過這個點之後θ（x²）的演算法總能打敗θ（x³）的演算法，也就是說使用了θ這類的符號（漸進符號）去比較演算法時間效能的時候，是與機器無關的，即使你在超級計算機上跑θ（x³）演算法，只要輸入規模和時間足夠，跑θ（x²）演算法的老式386機子總能打敗超級計算機。類似於θ符號我們引出了o符號（讀作大o）。
o（g(n)） =
這裡我們就只關心最壞情況，我們在談論乙個演算法的最壞情況時間複雜度的時候總是喜歡使用o符號，我通過前面的例子來說明這個o符號的作用。
for(i = 0,i < n ; i ++)
for(j = 0; j < n ; j++);
for (k = 0;k < n ; k ++);
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