由於dft演算法太慢，fft是更加快速的演算法。
import numpy as np
f0,f1 = 0.5,2 # 最高頻率為f1
t = 1/f0 # 取樣時間為最低頻率對應的週期
fs = m*f1 # 取樣頻率為最高頻率的m倍
dt = 1/fs # 取樣間隔
# 生產取樣訊號
t = np.arange(0,t,dt)
y = 3 + 2*np.sin(2*np.pi*f0*t+np.pi/2) + np.sin(2*np.pi*f1*t+np.pi/3)
# 進行dft
n = len(y)
x_dft = np.zeros([n],dtype=complex) # 生成n個元素的向量
for k in range(n):
for n in range(n):
# 累加
x_dft[k] = x_dft[k] + y[n]*np.exp(-2j*np.pi*k*n/n)
# 捨去
x_dft = np.round(x_dft,4)
print(x_dft)
x_fft = np.fft.fft(y)
x_fft = np.round(x_fft,4)
print(x_fft)
# 取模後，第乙個元素除以n，其餘元素除以n/2，才是幅值
x_fft_abs = abs(x_fft)/len(y)*2
x_fft_abs[0] = x_fft_abs[0]/2
x_fft_abs = np.round(x_fft_abs,4)
# 結果加pi/2才是相位
x_fft_phase = np.angle(x_fft) + np.pi/2
x_fft_phase[0] = 0
freq = np.fft.fftfreq(len(y),dt)f=0,a=3
f=0.5,a=2,φ=1.5708
f=2,a=1,φ=1.0472
其他值不是我們關心的。
比如下面這行**沒啥意思，雖然在這沒啥意思，但如果要編寫程式自動找出幅值與之對應的相位以及頻率，這麼做會方便查詢。
x_fft_phase[0] = 0第二組 m = 4，n=16=2^4
因為時間太短不明顯，將取樣時間調長，t=1/f0*100
第一組，fft用時0.0019s，dft用時5s，第二組，fft用時0.0s，dft用時9s
這只是一次統計，但可以說明fft速度就是快，dft速度特別慢。因為速度太快，所以沒有顯示出變換序列是2的整數次方，fft會更快。
理論上對於fft演算法，變換序列是2的整數次方，會更快。
dft的快速演算法有好多種，有名的是庫利－圖基快速傅利葉變換演算法（cooley-tukey）即fft演算法。
快速傅利葉變換#其他演算法
混疊：取樣率低於最高頻率的2倍造成的（欠取樣造成的）
能量洩露：取樣時間過短造成的（用於fft的訊號過短造成的）
柵欄效應：雖然取樣率滿足最高頻率的2倍，但還是太低造成的
總之，取樣率盡量高、取樣時間盡量長、取樣時間盡量為各分量週期的倍數（整週期取樣），就不會發生這些，分解得到的幅值、相位越接近實際。
疑問：在此實驗中，取樣時間為1/f0，我的取樣率為2*f1時，就會出現混疊，導致f=2對應的幅值能量洩露，因此改為3*f1，不知道什麼問題？
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