2021-3-10 第二天
一、問題：
√1、表示形式為何要分為：未壓縮、壓縮、混合？
√2、點的不同表示形式在應用時主要應用在資料型別的轉換過程中，轉換過程具體是什麼樣的？
3、何時需要進行資料轉換？
4、私鑰db和隨機數rb，在哪些演算法下是一致的？哪些情況下是不一致的？
5、生成演算法和驗證演算法的推導和證明是什麼樣的？
6、其他基於橢圓曲線的演算法（包括數字簽名、金鑰交換、公鑰加密）（除了sm2外）的流程是什麼樣的？這些不同的流程如何設計的如此恰到好處？怎樣從理論上去判別它們的效能好壞？
二、規則：
有限域為素域fp時，要求p>2^191且p為素數
有限域為擴域f_(2^m )時，要求m>192且m為素數
橢圓曲線上的點均採用仿射座標表示
必須選擇安全的橢圓曲線
禁止使用弱橢圓曲線（包括超奇異曲線和異常曲線）
資料轉換規則橢圓曲線系統引數符合要求，能通過全部驗證
生成的橢圓曲線可以抗mov攻擊和異常曲線攻擊（包含在第4點中）
生成的金鑰對（主要是公鑰p）引數符合要求，能通過全部驗證
三、學習內容：
f_(2^m )上橢圓曲線的運算規則（包括求逆、加法、倍點）
橢圓曲線方程：
y2+xy=x3+〖ax〗2+b,其中a,b∈f_(2m )，且b≠0
倍點規則：
p_3=(x_3,y_3 ) 〖=p〗_1+p_1=2p_1
其中 λ=x_1+y_1/x_1,
x_3=λ^2+λ+a, y_3=〖x_1〗^2+(λ+1) x_3
f_(2^m )中元素表示方法：m長位元串、多項式基(pb)、正規基(nb)多項式基(pb)：
記為：α=(a_(m-1) a_(m-2)…a_1 a_0)
正規基(nb)：α=a_0 β(20 )+a_1 β(21 )+⋯+a_(m-1) β(2(m-1) )
記為：α=(a_0 a_1 a_2…a_(m-2) a_(m-1))
兩種表示都是位元串的形式，但是順序不同。
#正規基表示的位元排序是從小到大的：0 1 2…m-1
#多項式基表示的位元排序是從大到小的：m-1…2 1 0
3、資料型別的轉換（位元串、位元組串、域元素、點、整數）
橢圓曲線上點的三種表示形式（壓縮、未壓縮、混合）以及單一位元組pc
域元素：q為奇素數時，域元素可看作整數；q=2^m時，域元素可看作位元串。
fp上橢圓曲線點的壓縮和解壓縮：
#橢圓曲線上，x確定時，對應兩個y值，一定為一奇一偶，因此y_p的值為0或1
壓縮：(y_p ) ̃取為y_p的最右邊一位元（0或1）
解壓縮：根據xp和橢圓曲線公式，計算y_p』。
若(y_p ) ̃與y_p最右邊一位元一致，則〖y_p=y〗_p』；否則，〖y_p=p-y〗_p』。
#pc為02或06時，y_p為偶數
#pc為03或07時，y_p為奇數
#pc為00時，表示p為無窮遠點o
#pc為04時，表示未壓縮，y_p的值從y中獲得
4、系統引數驗證
引數：a)域的規模q=p
b)(選項)乙個長度至少為192的位元串seed
c)fp中的兩個元素a和b，它們定義橢圓曲線e的方程，y2=x3+ax+b
d)基點g=（xg,yg）∈e(fp)，g≠o
e)基點g的階n
f)（選項）余因子h=#e(fp)/n
驗證：橢圓曲線系統引數生成者應驗證下面的條件
a)驗證q=p是奇素數
b)驗證a、b、xg和yg是區間[0,p-1]中的整數
c)若按照附錄d描述方法擬隨機產生橢圓曲線，驗證seed是長度至少為192的位元串，且a，b由seed派生得到
d)驗證(4a3+27b2)mod p ≠ 0
e)驗證yg2=xg3+axg+b(mod p)
f)驗證n是素數，n>2191且n>4*p(1/2)
g)驗證[n]g=o
h)計算 h』=⌊〖(p(1/2)+1)〗2/n⌋，並驗證〖h=h〗』
i)驗證抗mov攻擊條件和抗異常曲線攻擊條件成立
j)若以上任何乙個驗證失敗，則輸出「無效「
5、選擇安全的橢圓曲線
ecdlp現有攻擊方法：
pohlig-hellman方法
bsgs方法
pollard方法
並行pollard方法
mov-方法
異常曲線離散對數求解方法
ghs-方法
#一般的離散對數問題，求解方法都為指數級複雜度
#某些特殊曲線的離散對數問題，存在多項式級或亞指數級複雜度的演算法
安全橢圓曲線滿足的條件
抗mov攻擊
一些約化攻擊：將有限域f_q上的橢圓曲線離散對數問題，約化為f_(q^b )。
#這種攻擊方法只有在b較小時實用，大多數橢圓曲線不符合
抗mov攻擊條件，確保一條橢圓曲線不易受此約化方法攻擊。
mov閾：乙個正整數b，使得求取f_(q^b )上離散對數問題至少與f_q上的橢圓曲線離散對數問題同樣困難。
對於q>2^191，要求b≥27
2）抗異常曲線
在素域上的橢圓曲線〖e(f〗_q)，若〖#e(f〗_q)=p，則〖e(f〗_q)為異常曲線。
#經證明可在多項式時間內求解異常曲線的離散對數。
抗異常曲線條件：〖#e(f〗_q)≠p
f_q上絕大多數橢圓曲線滿足抗異常曲線攻擊條件
3）其他條件
為避免pohlig-hellman方法和pollard方法的攻擊，基點的階n需要是足夠大的素數。
為避免ghs方法的攻擊，f_(2^m )中的m應選擇素數。
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