總結有乙個 m×n
m \times n
m×n 的矩陣 a
aa ，可以分解成如下形式
a =u
σvta = u \sigma v^t
a=uσvt
其中 u∈r
m×mu\in r^
u∈rm×m
和 v∈rn
×nv\in r^
v∈rn×n
均為單位正交陣，即有 uut
=iuu^t=i
uut=
i 和 vvt
=ivv^t=i
vvt=
i ，u稱為左奇異矩陣，v稱為右奇異矩陣， σ∈r
m×n\sigma \in r^
σ∈rm×n
僅在主對角線上有值，稱為奇異值。
可以用下面的表示奇異值分解的過程，圖中方塊的顏色表示值的大小，顏色越淺，值越大。對於奇異值矩陣 σ
\sigma
σ ，只有其主對角線有奇異值，其餘均為0。
#注：來自網路import numpy as np
a = np.array([[
1,2,
3],[
4,5,
6]])
print
(a.shape)
print
(a)u,sigma,vt = np.linalg.svd(a)
print
(u)print
(sigma)
print
(vt)
分解之後得到200個奇異值，從svd函式中得到的奇異值sigma的值是從大到小排列的，畫出sigma的值的影象如下：
# 取前30個奇異值對影象重構
nums =
30img_re1 =(u
[:,0
:nums]).
dot(np.
diag
(sigma[
0:nums]))
.dot(vt
[0:nums,:]
)print
(img_re1.shape)
img_re1 = img_re1.
reshape
(200
,200,3
)
# 取前100個奇異值對影象重構
奇異值可以被看作成乙個矩陣的代表值，或者說，奇異值能夠代表這個矩陣的資訊。當奇異值越大時，它代表的資訊越多。因此，我們取前面若干個最大的奇異值，就可以基本上還原出資料本身。
從前面的曲線圖可以看出，奇異值的大小下降是非常快的，因此可以只取前面幾個奇異值，便可基本表達出原矩陣的資訊。
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