破碎的砝碼問題

法國數學家梅齊亞克在它的《數學組合遊戲》中提出了這樣乙個問題：乙個商人有乙個重量為40磅的砝碼，有一天他不小心將該砝碼摔成了4塊。商人發現每塊砝碼的重量都是整磅數，而且每塊砝碼的重量各不相同，並且發現這四塊砝碼碎片可以在天平上稱出1~40磅之間的任意重量（整磅數）。問這四塊砝碼碎片的重量各是多少？

1、四塊砝碼重量加起來等於40磅

2、每塊砝碼的重量各不相同

3、四塊砝碼碎片可以在天平上稱出1~40磅之間的任意重量（整磅數）

由此可知：問題的求解空間是有限的、可列的，使用窮舉法是一種比較簡便的方法。

演算法描述：

repeat:窮舉組合，其中a,b,c,d互不相等，並且a+b+c+d=40; if 組合可以在天平上稱出1 ~40磅之間的任意重量（整磅數） then 輸出該組合方式（答案），返回 else 繼續進行窮舉操作

until:窮舉完畢

現在需要解決兩個問題：

一、如何窮舉組合，a,b,c,d互不相等，且a+b+c+d=40？

對於該問題，我們可能很快可以寫出如下的程式：

for
(int i =
1; i <40;
++i)
for(
int j =
1; j <40;
++j)
for(
int k =
1; k <40;
++k)
for(
int s =
1; s <40;
++s)
，為該題的可能解
}

這樣的演算法低效且冗餘。

1、會對很多i,j,k,s相等的情況進行遍歷

2、這裡的組合是不考慮排列方式的組合，即組合與組合其實質是一樣的。

故推薦使用如下優化的演算法：

for
(int i =
1; i <=40;
++i)
for(
int j = i+
1; j <=
40-i;
++j)
for(
int k = j+
1; k <=
40-i-j;
++k)
for(
int s = k+
1; s <=
40-i-j-k;
++s)
if(i+j+k+s ==40)
得到乙個組合，為該題的可能解

該演算法確保內層迴圈搜尋範圍小於外層迴圈搜尋範圍，這樣每次得到的組合方式的4個元素都不會相等，且不會出現「相同組合、不同排列」的情況。

二、如何判斷組合可以在天平上稱出1~40磅之間的任意重量（整磅數）？

如果將其形式化為數學符號，它其實就是要判斷方程：

x 1a

i+x2

bi+x

3ci+

x4di

=wx1

,x2,

x3,x

4∈

x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=w \ \ \ \ \ x_1,x_2,x_3,x_4\in \

x1ai

+x2

bi+

x3c

i+x

4di

=wx

1,x

2,x

3,x

4∈在w=1,2,3…40時是否都有解。解空間限定在上。

例如：假設有這樣乙個解=使得方程

x 1a

i+x2

bi+x

3ci+

x4di

x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=1

x1ai

+x2

bi+

x3c

i+x

4di

=1有解，即

1 ×a

i+0×

bi−1

×ci+

1×di

=1⇒a

i+di

=ci+

11×a_i+0×b_i-1×c_i+1×d_i=1\\ \rightarrow a_i+d_i=c_i+1

1×ai+

0×bi

−1×

ci+

1×di

=1⇒

ai+

di=

ci+

1這樣天平的一邊放上碎片ai和di，另一邊放上碎片ci和乙個1磅的砝碼，天平就平衡了，這說明碎片可以稱出1磅的重量。

演算法描述如下：

int
justify
(int i,
int j,
int k,
int s)
是否可以稱出1~40磅之間的任意重量if(
!getweight
(i,j,k,s,weight)
)return0;
//不可以稱出1~40磅之間的任意重量
}return1;
//可以稱出1~40磅之間的任意重量
}

getweight演算法描述如下：

int
getweight
(int i,
int j,
int k,
int s,
int weight)

#include
"stdlib.h"
#include
using
namespace std;
intgetweight
(int i,
int j,
int k,
int s,
int weight)
intjustify
(int i,
int j,
int k,
int s)
是否可以稱出1~40磅之間的任意重量
return0;
//不可以稱出1~40磅之間的任意重量
return1;
//可以稱出1~40磅之間的任意重量
}void
pieces()
，為該題的可能解
cout << i <<
" "<< j <<
" "<< k <<
" "<< s << endl;
}int
main
(int argc,
char
* ar**)
//結果為：1 3 9 27

本題的關鍵在於

1、如何窮舉組合，使得a,b,c,d互不相等，且a+b+c+d=40；

2、如何判斷組合可以在天平上稱出1~40磅之間的任意重量（整磅數）。

解決了這兩個問題，就能得出問題的解。

破碎的砝碼問題

破碎的砝碼問題

C語言窮舉法解決破碎的砝碼

稱砝碼問題

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