動態規劃砝碼稱重問題

動態規劃（dynamic programming）這個詞乍一聽感覺甚是高大上，初次學習或者使用的時候會感覺難以理解，這是正常的，畢竟凡事都是一回生二回熟。其實它也不難的，大家要明白乙個道理，能寫到課本上給學生學習的東西必然屬於不難的東西，因為太難的東西寫到課本上讀者接受不了，這本書就沒有出版的意義了。當然我說的不難也僅僅只是說動態規劃的思想不難，因為我們常常面臨著乙個棘手的問題---那就是這個理論應用到實踐中的時候，它沒有乙個公式或者現成的可以直接用來套用的模型。對於這一點，沒有辦法，只能是通過多種案例，自己多總結，多思考，看看每一種能用動態規劃理論解決的問題，狀態模型究竟是如何建立的，而這就需要讀者多多練習了。

先來讀一讀題目，題目如下：

現有一組砝碼，重量互不相等，分別為m1、m2……mn；他們可取的最大數量分別為x1、x2……xn。現在要用這些砝碼去稱物體的重量，問能稱出多少種不同的重量。

看完這個題目感覺似乎無從下手，難道要乙個個的列舉拼湊嗎？答案是否定的。不繞彎子了，下面直接進入動態規劃的主場。我們假定砝碼的重量單位是克，下文中不新增這個單位，只說數字，比如重量是1，表示重量是1克。

設想第0種情況，假如現在只有0個砝碼，問它能稱出的重量有幾種？是個人都知道只能稱0的重量，並且只有這麼1種情況。

設想第1種情況，現在只有1種規格的砝碼，它的重量是1，數量是1個，問它能稱出的重量有幾種？很明顯，能稱出0和1這2種重量，一共2種情況。

設想第2種情況，現在有2種規格的砝碼，它們的重量分別是1和2，1克的砝碼1個，2克的砝碼1個，問它能稱出的重量有幾種？用手比劃比劃應該能知道，能稱出0，1，2，3這4種重量，4種情況。

設想第n種情況，現在有n種規格的砝碼，他們的重量分別為m1，m2。。。mn，問它能稱出的重量是幾種？這個時候貌似不是用手比劃比劃就可以出來結果了。但是這個問題的提出，就相當於是題目最終要解決的問題了。如果能夠利用某種規律回答這第n種情況的提問，那麼砝碼稱重的問題就可以完全解決。問題來了，上面的分析過程是否存在乙個規律呢？答案是規律肯定存在，並且分析這種規律的思路就是動態規劃的思路。

現在我們把第n種情況能稱出的重量種數用f(n)來表示，可以試著這樣具體化的描述，第0種情況能稱出的重量有f(0)種，第1種情況能稱出的重量有f(1)種，第2種情況能稱出的重量有f(2)種,。。。第n種情況能稱出的重量有f(n)種。

下面，回歸到上面的提到的情況分析中去。

第0種情況，f(0)=1;

第1種情況，f(1)=2;如果把這個結果和第0種情況結合起來看，可以認為：f(1)=f(0)+1,此式意義非凡，它的意義為：第1種情況可以建立在第0種情況的基礎上去解決，單單來看情況1的砝碼可以稱1種重量（即用乙個1克的砝碼稱1克的物體）不同於情況0中，二者相加即為f(1)的結果。

第2種情況，f(2)=4=f(1)+2，為什麼加2？因為如果僅僅只有1個1克的砝碼和1個2克的砝碼，它只能稱出重量為2克,3克這兩種不同於情況1中的重量（情況1中已經解決了0克和1克的問題）。

現在假定已經解決了第n-1種情況，即f(n-1)的值已經知道，那麼我們如果能計算出單單第n種情況能稱出哪些不同於n-1種情況中的重量，假定為x種，那麼f(n)=f(n-1)+x。最終問題便得到了解決。

請仔細領會上面的這個分析過程，一定要弄明白。

下面附上c++的程式，本程式先計算第0種砝碼能稱出多少種重量，能稱出的重量均在flag[100000]陣列中做好標記，然後計算第0種砝碼最多能稱多大的重量，在這個基礎上加入第1種砝碼，然後計算第2種，直至第n種。程式最關鍵的地方在於29行採用currentweight逐次加1試探的方式得到乙個數值，然後在33行驗證這個currentweight是否是前一種情況中的砝碼可以稱出來的重量，如果是，表明新的重量值確實可以稱出來，那麼就把這個重量在flag[100000]陣列中標記。最後統計標誌陣列flag[100000]種1的次數，即為所有砝碼隨意組合可以稱出的重量。

#include #include #include using namespace std;

int fama(int n, int weight, int num)

; /*先計算第0種砝碼能夠得到的稱重數量，並且計算第0種砝碼最大的重量*/

int tempweight = 0;

for (i = 0; i <=num[0]; i++)

tempweight = weight[0]*num[0];

//從此以後tempweight將用來表示前一種砝碼的最大重量

i = 1;//從第1種砝碼開始做

int currentweight;

int newweight;

while (i < n)

}} tempweight = tempweight + num[i] * weight[i];//更新上乙個砝碼的最大重量

i++;

} /*統計總數量*/

int count = 0;

for (i = 0; i < 1000; i++)

return count;

}int main()

{ int n;

cin >> n;

int *w = new int[n];

int *num = new int[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> w[i];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> num[i];

cout <

總結動態規劃的思路就是--總是試圖從最簡單的情況開始著手找出答案，利用最簡單的情況的答案計算下一種情況的答案。存在一種規律使得f(n)=f(n-1)+x的模式，使我們可以利用迴圈體計算n種情況。

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