一、dag上的dp
當題目給定了一張有向無環圖（dag），或原問題可以抽象成乙個dag時，可以在dag上進行dp來求解問題
dag最短路
給定乙個城市的地圖，所有的道路都是單行道，而且不會構成環。每條道路都有過路費，問您從s點到t點花費的最少費用。
f(x)表示從s出發到達x的最少費用
f(x)=min(f(y)+w(y, x))
實現時如何確定轉移順序？
拓撲排序/記憶化搜尋均可
【例題】旅行計畫
（洛谷 p1137）
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n=
200005
;queue<
int> q;
int n,m;
int tot,head[n]
,in[n]
,dis[n]
;struct nodeedge[n]
;void
add(
int u,
int v)
void
toposort()
}}intmain()
toposort()
;for
(int i=
1;i<=n;i++
)printf
("%d\n"
,dis[i]+1
);return0;
}
（uva437）
若磚塊j可以放在磚塊i之上，那麼在i和j之間連一條邊，權值為磚塊j的高度。
連邊的含義決定了該圖不存在環，是乙個dag。
由於每種磚有三種不同的擺放方式，且每種磚有無限個，可以將其拆成三個結點，看做三塊不同的磚。
設乙個初始結點表示大地，和所有點連邊。原問題轉化為dag上的最長路問題，dp解決。
二、概率與期望dp
通過dp來解決概率與期望的問題。
期望可以理解為平均。
eg：盒子裡有5個紅球，3個白球，摸紅球得兩分，摸白球得一分。
摸到紅球的概率=5/8。摸到白球的概率=3/8。
期望得分=(5/8)*2+(3/8)*1=13/8
【例題】bag of mice（概率dp）
（cf148d
設f[i][j]為輪到公主時袋子裡有i只白鼠，j只黑鼠，公主贏的概率
邊界：f[0][j]=0，因為沒有白鼠算龍贏，f[i][0]=1，因為抓乙隻就是白鼠，公主贏，考慮轉移
公主抓到乙隻白鼠，公主贏，概率為i/(i+j)
公主抓到乙隻黑鼠，龍抓到乙隻白鼠，龍贏，概率為j/(i+j)*i/(i+j-1)
公主抓到乙隻黑鼠，龍抓到乙隻黑鼠，跑出來乙隻黑鼠，轉移到f[i][j-3]，概率為j/(i+j)(j-1)/(i+j-1)(j-2)/(i+j-2)
公主抓到乙隻黑鼠，龍抓到乙隻黑鼠，跑出來乙隻白鼠，轉移到f[i-1][j-2]，概率為j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*i/(i+j-2)
#include
#include
#include
using
namespace std;
int w,b;
double f[
1005][
1005];
doubledp(
int x,
int y)
intmain()
有n張紅牌和m張黑牌，打亂順序放在桌子上，摸到一張紅牌得1元，摸到一張黑牌損失1元，可以隨時停止摸牌，求得到錢數的最大期望。
n<=5000,m<=5000
因為是最大期望，所以有一定的策略。
考慮用f[i][j]表示有i張紅牌j張黑牌的最大期望。
那麼f[i][0]=i，即所有紅牌都摸。
f[0][i]=0，即一張黑牌都不摸。
f[i][j]=max(0,i/(i+j) * (f[i-1][j]+1)+j/(i+j) * (f[i][j-1]-1))
5000*5000的陣列存不下，我們可以將某一維滾動一下。
#include
#include
#include
#define ans1 ((f[j-1][end]+1)*j/i)
#define ans2 ((f[j][end]-1)*(i-j)/i)
using
namespace std;
int n,m,k=
0,end=1;
double f[
100005][
2];int
main()
}printf
("%.6lf\n"
,floor
(f[n]
[end]
*1000000)/
1000000);
return0;
}
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