定義:
定義在集合a上的關係如果是自反,對稱和傳遞的,則該關係稱為等價關係。自反,對稱和傳遞的定義見這裡
如果集合a中兩個關係是被等價關係關聯的,則稱它們是等價的,記做 a ~ b在乙個
集合a中
,所有a
的等價元
素組成的
子集合叫
做a的等
價類,記
做[a]
r,有時
候也可以
把下標r
去掉,寫
作[a]
在乙個集合a中,所有a的等價元素組成的子集合叫做a的等價類,記做 \left[ a\right]_r,有時候也可以把\\ 下標r去掉,寫作[a]
在乙個集合a
中,所有
a的等價
元素組成
的子集合
叫做a的
等價類,
記做[a
]r,
有時候也
可以把下
標r去掉
,寫作[
a]例如,對於正整數集合,r為a=-b或者a=b
。7的等價類就是[7]=
假設集
合a中的
關係r是
等價的,
a和b具
有以下形
式:1a
rb2[
a]=[
b]3[
a]∩[
b]≠∅
中的任何
乙個時,
都可以證
明另外兩
個。
假設集合a中的關係r是等價的,a和b具有以下形式:\\ \begin 1 & a r b\\ 2 & [a]=[b]\\ 3 & [a] \cap [b] \neq \emptyset \end\\ 中的任何乙個時,都可以證明另外兩個。
假設集合a中
的關係r
是等價的
,a和b
具有以下
形式:1
23a
rb[a
]=[b
][a]
∩[b]
=∅
中的任
何乙個時
,都可以
證明另外
兩個。這個證明我自己想的,沒有抄書上。
假 設a
,b∈a
,且(a
,b)∈
r,因為
r是等價
關係,所
以(b,
a)∈r
,同理,
(a,a
)∈r,
(b,b
)∈r。
所以[a
]=[b
],[a
]∩[b
]≠
∅假設 a,b \in a,且 (a,b) \in r,因為r是等價關係,所以(b,a) \in r,同理,(a,a) \in r,(b,b)\in r。\\ 所以 [a]=[b], [a] \cap [b] \neq \emptyset
假設a,b∈
a,且(
a,b)
∈r,因
為r是等
價關係,
所以(b
,a)∈
r,同理
,(a,
a)∈r
,(b,
b)∈r
。所以[
a]=[
b],[
a]∩[
b]
=∅簡單來說就是如果乙個集合存在等價關係,則我們可以使用該等價關係來劃分集合。同時,如果集合可以劃分成幾部分,我們也可以找到乙個等價關係來使其中的各部分符合該關係。
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習題十 等價關係與等價類 1 設r和r是集合a上的等價關係,用例子證明r?r不一定是等價關係。2 試問由4個元素組成的有限集上所有的等價關係的個數為多少?3 給定集合s 1,2,3,4,5 找出s上的等價關係r,此關係r能夠產生劃分 1,2 3 4,5 並畫出關係圖。4 設r是乙個二元關係,設s?a...
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等價關係 離散數學
稱為s上為等價關係,當且僅當它在s上是對稱的,自反的,傳遞的。例如 x y意味著y x x y且y z意味著x z 可以使用等價關係將集合s劃分為等價類,s的兩個元素x和y屬於同一等價類,當且僅當 例如,有12個編號為0至11元素 0 4,3 1,6 10,8 9,7 4,6 8,3 5,2 11,...