習題十:等價關係與等價類
1．設r和r是集合a上的等價關係，用例子證明r?r不一定是等價關係。
2．試問由4個元素組成的有限集上所有的等價關係的個數為多少？ 3．給定集合s=｛1，2，3，4，5｝，找出s上的等價關係r，此關係r能夠產生劃分｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5｝｝並畫出關係圖。 4．設r是乙個二元關係，設s?｛?a,b?|對於某一c，有?a,c??r且?c,b??r｝ ，證明若r是乙個等價關係，則s也是乙個等價關係。
5．設正整數的序偶集合a，在a上定義的二元關係r如下：??x,y?,?u,v???r,當且僅當
xv?yu，證明r是乙個等價關係。
6．設r是集合a上的對稱和傳遞關係，證明如果對於a中的每乙個元素a，在a中同時也存在乙個b，使?a,b?在r之中，則r是乙個等價關係。
7．設r1和r2是非空集合a上的等價關係，確定下述各式，哪些是a上的等價關係，對不是的提供反例證明。 a)(a?a)?r1 b)r1?r2 c)r1
d)r(r1?r2)(即r1?r2的自反閉包)。
8．設c是實數部分非零的全體複數組成的集合，c上關係r定義為：
(a?bi)r(c?di)?ac?0，證明r是等價關係，並給出關係r的等價類的幾何說明。
9．設?和?是非空集合a上的劃分，並設r和r是分別由?和??誘導的等價關係，那麼，??細分?的充要條件是r??r。
10．設rj表示i上的模j等價關係，rk表示i上的模k等價關係，證明i/rk細分i/rj當且僅當k是j的整數倍。
11．a，b是全集e的子集，各命題及由這些命題構成的集合x如下所示。 x??p,q,r,s,t,u,v,w,y,z?，其中
ccc p: a?b?e; q: a?b?b; r: a?b; s: a?b; t: a?b; ccc u: b?a; v: a?b??; w: a?b?b; y: a?b; z: b?a.
又r是x上的命題間的等價關係，求商集x/r(a表示a的絕對補集)。 12． r為集合x上的二元關係，x??1,2,3,4,5,6,7?，
cr???1,1?,?1,2?,?2,4?,?6,3?,?6,6?,?7,1??，求
(1) r的等價閉包r(即包含r的最小的等價關係)； (2) 求x/r。
13． 設r是集合a上的等價關係，s是a上的對稱關係，試問r?s?s?r 是否是
a上的等價關係？若是，請給出證明；若不是，請具體分析它具有哪些性質，並對
不成立的性質舉出反例。
14．設r是a上的二元關係，定義s??a,b??c?a,?a,c??r,?c,b??r，證明：若r是a上的等價關係，則s也是等價關係，且s=r。
15． 設r和s是集合a上的關係，證明或否定下面結論：
(1) 若r，s是傳遞的，則r?s傳遞的充分必要條件是r?s?s?r； (2) 若r，s是等價關係，則r?s是等價關係的充分必要條件是r?s?s?r。
???~??~????a,b,c???，16． 知r，s是集合a上等價關係，且商集為：a/r??,d,e,g??,f?a/s???a,c??,b,d,g??,f,g??，顯然，r?s也是等價關係，先畫出r?s有向圖，再寫
出商集a/r?s。
17．證明定義在實數集合r上的關係s???x,y?x,y?r,???x?y是整數?是乙個等價關 3?系。
18. 設r1是a上的等價關係，r2是b上的等價關係，a??且b??。關係r滿足：
??x1,y1?,?x2,y2???r當且僅當?x1,x2??r1且?y1,y2??r2。
試證明：r是a?b上的等價關係。
19. 設n是自然數集合，定義n上的二元關係r：
r??x,y?x?n,y?n,x?y是偶數 (1) 證明r是乙個等價關係； (2) 求關係r的等價類；
(3) 試設計乙個從n到n的函式f,使得由f誘導的等價關係就是關係r。
??20. 設r是集合a上的乙個具有傳遞和自反性質的關係，t是a上的關係，使得
?a,b??t??a,b??r且?b,a??r, 證明t是乙個等價關係。
21. 設r是集合x上的關係，對所有的x,y,z?x來說，如果有xry和yrz就有zrx，則稱關係r是迴圈關係，試證明：當且僅當r是乙個等價關係，r才是自反和迴圈的。 22. 設r是a上的二元關係，r?1是r的逆關係。證明：r是傳遞的當且僅當r?1是傳遞的。
23. 給定x??1,2,3,4,5,6?，r是x上關係，其生成矩陣如下。
?0??0?0 ??0?1??0?01000??00100?00000??
00000?00000??00001??問：ts(r)是否為x上等價關係？如是，寫出商集x/ts(r)，如不是，說明原因。(ts(r)是r的對稱、傳遞閉包)
24. 已知集合x上的二元關係r的關係矩陣為：
?0??0?1mr???0?0??1?10010??01000?00000??
00000?00010??00000??求(1)mt?r?； (2)mrst?r?。
25. 集合a??1,2,3,4,5,6,7,8?，r為a上二元關係，
r???1,1?,?1,5?,?2,2?,?2,4?,?2,6?,?3,3?,?3,8?,?4,2?,?4,4?,?4,6?,?5,1?,?5,5?,?6,2?,?6,4?,?6,6?,?7,7?,?8,3?,?8,8??。求ar。
等價關係的個數
等價關係 設r為集合a上的關係,如果r是自反的,對稱的,傳遞的,則稱r為a上的等價關係.等價類 設r是集合a上的等價關係,對任意的a in a,令 a r 則稱 a r為元素a關於r的等價類,簡稱為a的等價類,簡記為 a 即 x in a r leftrightarrow in r 所有等價類的集合...
等價關係 離散數學
稱為s上為等價關係，當且僅當它在s上是對稱的，自反的，傳遞的。例如 x y意味著y x x y且y z意味著x z 可以使用等價關係將集合s劃分為等價類，s的兩個元素x和y屬於同一等價類，當且僅當 例如，有12個編號為0至11元素 0 4,3 1,6 10,8 9,7 4,6 8,3 5,2 11,...
9 5 等價關係
定義 定義在集合a上的關係如果是自反，對稱和傳遞的，則該關係稱為等價關係。自反，對稱和傳遞的定義見這裡 如果集合a中兩個關係是被等價關係關聯的，則稱它們是等價的，記做 a b 在乙個 集合a中 所有a 的等價元 素組成的 子集合叫 做a的等 價類，記 做 a r，有時 候也可以 把下標r 去掉，寫 ...