資料結構二叉排序樹

二叉排序樹又稱二叉查詢樹。二叉排序樹或是一棵空樹，或是一棵具有下列特性的非空二叉樹：

1）若左子樹非空，則左子樹上所有結點關鍵字值均小於根結點的關鍵字值。

2）若右子樹非空，則右子樹上所有結點關鍵字值均大於根結點的關鍵字值。

3）左、右子樹本身也分別是一棵二叉排序樹

二叉排序樹的查詢是從根結點開始，沿某個分支逐層向下進行比較的過程。若二叉樹非空，則將給定值與根結點的關鍵字比較；若相等，則查詢成功；若不等，則當前結點的關鍵字值大於給定關鍵字值時，在根節點的左子樹查詢，否則在根節點的右子樹中查詢。這是乙個遞迴的過程。

二叉排序樹的遞迴查詢演算法：

bstnode*
bst_search
(bittree t, elemtype key)
if( t-
>data == key)
else
if( t-
>data > key)
else
if( t-
>data < key)
}

二叉排序樹的非遞迴查詢演算法：

bstnode*
bst_search
(bittree t, elemtype key, bstnode*
&p)else
}return t;
}

二叉排序樹是一種動態幾何，其特點是樹的結構通常不是一次生成的，而是在查詢過程中，當樹中不存在關鍵字值等於給定值的結點時在進行插入的。

由於二叉排序樹是遞迴定義的，因此插入結點的過程如下：若二叉排序樹為空，則直接插入結點；否則，若關鍵字k小於根結點關鍵字，則插入左子樹，若關鍵字大於根結點關鍵字，則插入右子樹。

構造一棵二叉樹就是依次輸入資料元素，並將它們插入二叉排序樹中適當位置上的過程。具體過程：每讀入乙個元素，就建立乙個結點，若二叉排序樹非空，則將新結點的值與根結點的值作比較，若小於根結點的值，則插入左子樹，否則插入右子樹；若二叉排序樹為空，則將新結點作為二叉排序樹的根結點。

void
bst_create
(bittree& t, elemtype str)
}

在二叉排序樹中刪除乙個結點時，不能把以結點為根的子樹上的結點都刪除，必須先把被刪除結點從儲存二叉排序樹的鍊錶上摘下，將因刪除結點而斷開的二叉鍊錶重新鏈結起來，同時確保二叉排序樹的性質不會丟失。

刪除操作按三種情況來處理：

若被刪除結點 x 是葉結點，則直接刪除，不會破壞二叉排序樹的性質

若結點 x 只有一棵左子樹或右子樹，則讓 x 的子樹成為 x 父節點的子樹，替代 x 的位置

若結點 x 有左、右兩棵子樹，則令 x 的直接後繼（或直接前驅）替代 x ，然後從二叉排序樹中刪除這個直接後繼（或直接前驅），這樣就轉換成了第一或第二種情況。

//中序遍歷序列的下乙個節點，即比當前節點大的最小節點，簡稱後繼節點。
intsuccessor
(bsttree* p)
return p-
>data;
}//中序遍歷序列的前乙個節點，即比當前節點小的最大節點，簡稱前驅節點。 
intpredecessor
(bsttree* p)
return p-
>data;
}bstnode*
bst_delete
(bsttree& t, elemtype x)
else
else
if( x > t-
>data )
else
else
if( t-
>rchild !=
null
)else}}
return t;
}

對於高度為h的二叉排序樹，插入和刪除操作的執行時間都是o(h)。但在最壞情況下，構造二叉排序樹的輸入序列是有序的，則會形成乙個傾斜的單支樹，此時二叉排序樹的效能新竹變壞，樹的高度也增加為元素個數n。

二叉排序樹的查詢演算法平均查詢長度，主要取決於樹的高度，即與二叉樹的形態有關。若退化成煉表，則為o（n）;若為平衡二叉樹，則為o（log2n)。

相同的關鍵字其插入順序不同可能生成不同的二叉排序樹。

如果喜歡的話，不妨關注一波，謝謝啦。

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