開環零極點對根軌跡的影響

增加開環極點

參考文獻

最近在學根軌跡對控制系統的影響，記錄一下，希望有大神能夠指點下。

當按某一參量（一般為增益k）做出系統的根軌跡後，可以通過調節該參量直觀的看出根軌跡的變化，當通過調節該參量無法滿足需求時，可通過增加開環零極點的形式改變原有根軌跡的走向，以滿足系統需求。

系統開環傳遞函式為：

式1的根軌跡方程如圖1所示，可知系統有三條根軌跡沿對應的漸近線趨向於inf，由圖可知當k>12時，根軌跡有兩條分支進入s的右半平面，即系統處於不穩定狀態。

圖1 公式1根軌跡

由根軌跡相角方程可知引入開環零點-b，相角方程中相應的增加了乙個正的角度，arg(s+b)，從而使根軌跡向左傾斜，其根軌跡變化具體趨勢，視其零點位置而異。

假設零點位於-3~ -inf的實軸段上，令b=5時，即：

公式3對應的根軌跡如圖2所示，由圖可知，在引入開環零點後，控制系統軌跡向左傾斜，其臨界增益k0=12，此值與加零點前值相同，即當k>12時，根軌跡有兩條分支進入s的右半平面，這表明該附加零點對於根軌跡的影響較小，動態效能未發生明顯改善，主要原因為該零點距虛軸較遠。

假設零點位於-1~ -3的實軸段上，令b=2時，即：

公式4對應的根軌跡如圖3所示，由圖可知，k在0 ~ inf範圍內，系統總是穩定的，當k>0.419時，系統有一對共軛複數極點和乙個實極點，由於共軛極點距離虛軸較近，可視為主導極點，該系統可以近似用共軛極點的二階系統來表徵。

圖2 公式3根軌跡圖3 公式4根軌跡

假設零點位於0~ -1的實軸段上，令b=0.5時，即：

公式5對應的根軌跡如圖4所示，由圖可知，k在0 ~ inf範圍內，系統總是穩定的，當k>kinout時，系統有一對共軛複數極點和乙個實極點，由於實極點距離虛軸較近，系統的暫態衰減很緩慢，導致系統的輸出響應時間相對較長，這是控制系統所不希望的。

圖 4 公式5根軌跡

由以上分析可知，對於給定的控制系統傳遞函式，在實軸上增加開環零點，對於根軌跡的影響有顯著區別，對此可以針對特定的系統選擇合適的零點位置，以提高系統的穩定性和動態效能。

以上均為在實軸增設開環零點情況，對於特定系統亦可增設複數零點以改變控制系統動態效能，此處不再贅述。

由根軌跡相角方程可知引入開環極點-p，相角方程中相應的增加了乙個負的角度，-arg(p+s)，從而使根軌跡向右傾斜，這顯然不利於控制系統的穩定和動態效能的改善

圖5 公式6根軌跡圖6 公式7根軌跡

舉例如下：噹式6所示的開環傳遞函式引入開環極點p時，即式7。根軌跡變化如圖所示，原系統k在0~inf變化時，總是穩定的。加入開環零點後，在k>12時，系統變為不穩定。

《自動控制理論》第三版. 鄒伯敏主編。